Desenvolva a função dada em uma série de cossenos ou senos, conforme o caso.
l) f(x) = {-pi, -2 pi < x < -pi; x, -pi <= x < pi; pi, pi <= x < 2 pi}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para desenvolver uma função dada em uma série de cossenos ou senos. Isso faz parte da matéria de Séries de Fourier, que é usada para representar funções periódicas como a soma de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar entender se a função é par ou ímpar, pois isso determina se usamos apenas cossenos ou senos na série.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que queremos expandir:
Essa função é periódica com período . Vamos verificar se ela é par ou ímpar.

Passo 3

Uma função é par se e ímpar se . Vamos testar:
Para entre e :
Mas , então . Isso mostra que a função é ímpar!

Passo 4

Como a função é ímpar, a série de Fourier vai conter apenas senos. A fórmula geral para a série de Fourier de uma função ímpar é:
Onde os coeficientes são dados por:

Passo 5

Vamos calcular os coeficientes . Sabemos que:
Esse é um integral padrão que podemos resolver por partes.

Passo 6

Aplicando integração por partes, onde:
Então:

Passo 7

Avaliando de a :
Porque e .

Passo 8

Então, o coeficiente fica:

Passo 9

Agora, substituindo os coeficientes na série de Fourier:

Resposta

A série de Fourier da função é dada por:

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