Desenvolva a função dada em uma série de cossenos ou senos, conforme o caso.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para desenvolver uma função dada em uma série de cossenos ou senos. Isso faz parte da matéria de Séries de Fourier, que é usada para representar funções periódicas como a soma de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar entender se a função é par ou ímpar, pois isso determina se usamos apenas cossenos ou senos na série.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que queremos expandir:
Essa função é periódica com período . Vamos verificar se ela é par ou ímpar.
Passo 3
Uma função é par se e ímpar se . Vamos testar:
Para entre e :
Mas , então . Isso mostra que a função é ímpar!
Passo 4
Como a função é ímpar, a série de Fourier vai conter apenas senos. A fórmula geral para a série de Fourier de uma função ímpar é:
Onde os coeficientes são dados por:
Passo 5
Vamos calcular os coeficientes . Sabemos que:
Esse é um integral padrão que podemos resolver por partes.
Passo 6
Aplicando integração por partes, onde:
Então:
Passo 7
Avaliando de a :
Porque e .
Passo 8
Então, o coeficiente fica:
Passo 9
Agora, substituindo os coeficientes na série de Fourier: