Desenvolva a função dada em uma série de cossenos ou senos, conforme o caso.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa desenvolver a função em uma série de cossenos. Isso faz parte do estudo das Séries de Fourier, que servem para representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Como a função dada é par (ou seja, ), vamos usar apenas cossenos na série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a Série de Fourier do tipo cosseno para funções pares. A fórmula geral é:
Aqui, é o termo constante e são os coeficientes dos cossenos que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos calcular o termo , que representa a média da função no intervalo. A fórmula para é:
Como a função é par, podemos simplificar integrando de 0 a e multiplicando por 2:
Calculando a integral:
Então:
Passo 4
Agora, vamos achar os coeficientes para os cossenos. A fórmula é:
Novamente, como a função é par, podemos simplificar:
Essa integral pode ser resolvida usando métodos de integração por partes, mas o resultado final é:
Passo 5
Finalmente, juntando tudo que calculamos, a série de Fourier em cossenos para a função fica: