Desenvolva a função dada em uma série de cossenos ou senos, conforme o caso.
g)
g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa desenvolver a função
em uma série de cossenos. Isso faz parte do estudo das Séries de Fourier, que servem para representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Como a função dada é par (ou seja,
), vamos usar apenas cossenos na série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a Série de Fourier do tipo cosseno para funções pares. A fórmula geral é:
Aqui,
é o termo constante e
são os coeficientes dos cossenos que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos calcular o termo
, que representa a média da função no intervalo. A fórmula para
é:
Como a função é par, podemos simplificar integrando de 0 a
e multiplicando por 2:
Calculando a integral:
Então:
Passo 4
Agora, vamos achar os coeficientes
para os cossenos. A fórmula é:
Novamente, como a função é par, podemos simplificar:
Essa integral pode ser resolvida usando métodos de integração por partes, mas o resultado final é:
Passo 5
Finalmente, juntando tudo que calculamos, a série de Fourier em cossenos para a função
fica:
Resposta
A série de cossenos que representa a função
é: