Desenvolva a função dada em uma série de cossenos ou senos, conforme o caso.
g) f(x) = pi^2 - x^2, -pi < x < pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa desenvolver a função em uma série de cossenos. Isso faz parte do estudo das Séries de Fourier, que servem para representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Como a função dada é par (ou seja, ), vamos usar apenas cossenos na série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a Série de Fourier do tipo cosseno para funções pares. A fórmula geral é:
Aqui, é o termo constante e são os coeficientes dos cossenos que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos calcular o termo , que representa a média da função no intervalo. A fórmula para é:
Como a função é par, podemos simplificar integrando de 0 a e multiplicando por 2:
Calculando a integral:
Então:

Passo 4

Agora, vamos achar os coeficientes para os cossenos. A fórmula é:
Novamente, como a função é par, podemos simplificar:
Essa integral pode ser resolvida usando métodos de integração por partes, mas o resultado final é:

Passo 5

Finalmente, juntando tudo que calculamos, a série de Fourier em cossenos para a função fica:

Resposta

A série de cossenos que representa a função é:

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Desenvolva a função dada em uma série de cossenos ou senos, conforme o caso.
e) f(x) = x^2, -1 < x < 1
Determine se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
j) f(x) = 2|x| - 1
Desenvolva a função dada em uma série de cossenos ou senos, conforme o caso.
l) f(x) = {-pi, -2 pi < x < -pi; x, -pi <= x < pi; pi, pi <= x < 2 pi}
Desenvolva a função dada em uma série de cossenos ou senos, conforme o caso.
n) f(x) = cos(x), -pi/2 < x < pi/2