Desenvolva a função dada em uma série de cossenos ou senos, conforme o caso.
c) f(x) = |x|, -pi < x < pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para desenvolvermos a função em uma série de cossenos ou senos no intervalo . Isso está relacionado ao estudo das Séries de Fourier, que nos ajudam a representar funções periódicas como a soma de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar os coeficientes de uma série de Fourier, especialmente como essa função é uma função par, o que significa que usaremos apenas cossenos na série.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que é uma função par. Uma função é par se . No caso, , então é realmente par. Isso significa que na série de Fourier teremos apenas termos de cossenos, já que senos são funções ímpares e não aparecem na série de funções pares.

Passo 3

A série de Fourier para uma função par no intervalo é dada por:
onde os coeficientes são calculados por:
Como é par e também é par, podemos simplificar a integral de a para duas vezes a integral de a :
Mas como já é positivo no intervalo a , podemos simplificar para:

Passo 4

Vamos calcular usando integração por partes. Vamos definir:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Agora, avaliamos de a :
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, vamos calcular , que é o coeficiente constante:

Passo 6

Agora, substituímos todos os coeficientes na fórmula da série de Fourier:
Podemos simplificar isso como:
Isso ocorre porque somente os termos ímpares contribuem para a soma.

Resposta

A série de Fourier de no intervalo é:

Exercícios relacionados