Desenvolva a função dada em uma série de cossenos ou senos, conforme o caso.
c)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para desenvolvermos a função
em uma série de cossenos ou senos no intervalo
. Isso está relacionado ao estudo das Séries de Fourier, que nos ajudam a representar funções periódicas como a soma de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar os coeficientes de uma série de Fourier, especialmente como essa função é uma função par, o que significa que usaremos apenas cossenos na série.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que
é uma função par. Uma função é par se
. No caso,
, então
é realmente par. Isso significa que na série de Fourier teremos apenas termos de cossenos, já que senos são funções ímpares e não aparecem na série de funções pares.
Passo 3
A série de Fourier para uma função par
no intervalo
é dada por:
onde os coeficientes
são calculados por:
Como
é par e
também é par, podemos simplificar a integral de
a
para duas vezes a integral de
a
:
Mas como
já é positivo no intervalo
a
, podemos simplificar para:
Passo 4
Vamos calcular
usando integração por partes. Vamos definir:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Agora, avaliamos de
a
:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, vamos calcular
, que é o coeficiente constante:
Passo 6
Agora, substituímos todos os coeficientes na fórmula da série de Fourier:
Podemos simplificar isso como:
Isso ocorre porque somente os termos ímpares
contribuem para a soma.
Resposta
A série de Fourier de
no intervalo
é: