Desenvolva a função dada em uma série de cossenos ou senos, conforme o caso.
j) f(x) = { x + 1, -1 < x < 0; x - 1, 0 <= x < 1 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para desenvolver a função em uma série de cossenos ou senos. A função está definida de forma diferente em dois intervalos: de a e de a . Vamos precisar usar a Série de Fourier, que nos ajuda a representar funções periódicas como somas de senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de função que temos. Nossa função é definida por:
Como a função não é nem par nem ímpar, precisaremos desenvolver uma Série de Fourier completa, que inclui tanto termos de seno quanto de cosseno.

Passo 3

A Série de Fourier para uma função no intervalo a é dada por:
Onde:
  • é o termo constante
  • são os coeficientes dos cossenos
  • são os coeficientes dos senos
No nosso caso, , então a fórmula simplifica para:

Passo 4

Vamos calcular , que é a média da função no intervalo:
Dividindo a integral conforme a definição de :
Calculando as integrais:
Avaliando de a e de a :

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Dividindo a integral:
Essas integrais podem ser resolvidas por partes, mas para simplificação, reconhecemos que, devido à simetria da função, os coeficientes se anulam, ou seja, .

Passo 6

Vamos calcular os coeficientes :
Dividindo a integral:
Após resolver as integrais, encontraremos que:

Resposta

Então, a série de Fourier para a função é:

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