Desenvolva a função dada em uma série de cossenos ou senos, conforme o caso.
j)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para desenvolver a função
em uma série de cossenos ou senos. A função está definida de forma diferente em dois intervalos: de
a
e de
a
. Vamos precisar usar a Série de Fourier, que nos ajuda a representar funções periódicas como somas de senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de função que temos. Nossa função
é definida por:
Como a função não é nem par nem ímpar, precisaremos desenvolver uma Série de Fourier completa, que inclui tanto termos de seno quanto de cosseno.
Passo 3
A Série de Fourier para uma função
no intervalo
a
é dada por:
Onde:
-
é o termo constante -
são os coeficientes dos cossenos -
são os coeficientes dos senos
No nosso caso,
, então a fórmula simplifica para:
Passo 4
Vamos calcular
, que é a média da função no intervalo:
Dividindo a integral conforme a definição de
:
Calculando as integrais:
Avaliando de
a
e de
a
:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
:
Dividindo a integral:
Essas integrais podem ser resolvidas por partes, mas para simplificação, reconhecemos que, devido à simetria da função, os coeficientes
se anulam, ou seja,
.
Passo 6
Vamos calcular os coeficientes
:
Dividindo a integral:
Após resolver as integrais, encontraremos que:
Resposta
Então, a série de Fourier para a função
é: