Esboce o gráfico das funções abaixo usando os Testes das Derivadas.
a)
SUGESTÂO: Justifique todos os passos. Não se esqueça de justificar sobre as assíndotas
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SUGESTÂO: Justifique todos os passos. Não se esqueça de justificar sobre as assíndotas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico da função
usando os Testes das Derivadas. Isso envolve entender como a derivada da função nos ajuda a identificar pontos de máximo, mínimo e também onde a função está aumentando ou diminuindo. Além disso, precisamos prestar atenção nas assíntotas, que são linhas que a função se aproxima mas nunca toca.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função
é definida como
. Sabendo disso, precisamos identificar o domínio da função, ou seja, todos os valores de
para os quais
está definida. A função
não está definida quando
, pois não podemos dividir por zero.
Passo 3
As assíntotas verticais da função
ocorrem onde
. Sabemos que
quando
, onde
é um número inteiro. Nessas posições, a função
tende ao infinito positivo ou negativo, formando assim as assíntotas verticais.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de
para entender o comportamento da função. A derivada de
é:
Sabemos que
é sempre positiva, o que significa que a função
está sempre aumentando onde está definida.
Passo 5
Com a derivada positiva em todo o domínio, concluímos que não há pontos de máximo ou mínimo na função
. A função simplesmente aumenta de
a
entre duas assíntotas verticais consecutivas.
Passo 6
Vamos também verificar pontos específicos para ter certeza de como o gráfico se comporta. Sabemos que
, então o gráfico passa pela origem. Além disso, à medida que
se aproxima de
pela esquerda,
tende a
, e à medida que se aproxima de
pela direita, tende a
.
Resposta
Então, o gráfico da função
consiste em uma série de ramos que passam pela origem e por pontos como
,
, etc., com assíntotas verticais em
para todo inteiro
. Entre duas assíntotas, a função é crescente desde
até
, sem pontos de máximo ou mínimo.