Esboce o gráfico das funções abaixo usando os Testes das Derivadas.
a) tan(x)
SUGESTÂO: Justifique todos os passos. Não se esqueça de justificar sobre as assíndotas

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico da função usando os Testes das Derivadas. Isso envolve entender como a derivada da função nos ajuda a identificar pontos de máximo, mínimo e também onde a função está aumentando ou diminuindo. Além disso, precisamos prestar atenção nas assíntotas, que são linhas que a função se aproxima mas nunca toca.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função é definida como . Sabendo disso, precisamos identificar o domínio da função, ou seja, todos os valores de x para os quais está definida. A função não está definida quando , pois não podemos dividir por zero.

Passo 3

As assíntotas verticais da função ocorrem onde . Sabemos que quando , onde k é um número inteiro. Nessas posições, a função tende ao infinito positivo ou negativo, formando assim as assíntotas verticais.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de para entender o comportamento da função. A derivada de é:
Sabemos que é sempre positiva, o que significa que a função está sempre aumentando onde está definida.

Passo 5

Com a derivada positiva em todo o domínio, concluímos que não há pontos de máximo ou mínimo na função . A função simplesmente aumenta de -infinito a +infinito entre duas assíntotas verticais consecutivas.

Passo 6

Vamos também verificar pontos específicos para ter certeza de como o gráfico se comporta. Sabemos que , então o gráfico passa pela origem. Além disso, à medida que x se aproxima de pi / 2 pela esquerda, tende a +infinito, e à medida que se aproxima de pela direita, tende a -infinito.

Resposta

Então, o gráfico da função consiste em uma série de ramos que passam pela origem e por pontos como (pi, 0), , etc., com assíntotas verticais em para todo inteiro k. Entre duas assíntotas, a função é crescente desde -infinito até +infinito, sem pontos de máximo ou mínimo.

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