Determine se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a função dada é par, ímpar ou nenhuma das duas. Para isso, vamos usar os conceitos de funções pares e funções ímpares. Uma função é par se, para todo
no domínio,
. Já uma função é ímpar se
para todo
no domínio. Vamos precisar calcular
e comparar com
e
para ver qual dessas condições se encaixa.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função
para os valores de
e depois substituir
por
:
Agora, vamos encontrar
:
Para
, temos que considerar as diferentes faixas de
:
-
Quando
está entre 0 e 2 ( ): - Então
está entre -2 e 0 ( ). - Nesse intervalo,
.
- Então
-
Quando
está entre -2 e 0 ( ): - Então
está entre 0 e 2 ( ). - Nesse intervalo,
.
- Então
Então, resumindo:
Passo 3
Agora, vamos comparar
com
e
:
-
Comparando com
: - Para
: -
-
- Então,
nessa faixa.
-
- Para
: -
-
- Novamente,
nessa faixa.
-
Parece quepara todos os no domínio da função. - Para
-
Comparando com
: - Mesmo que já tenhamos visto que
, vamos checar para garantir: - Para
: -
- Para
: -
Claramente,não é igual a , então a função não é ímpar. - Mesmo que já tenhamos visto que
Resposta
A função é par, pois
para todo
no domínio.