Desenvolva a função dada em uma série de cossenos ou senos, conforme o caso.
n)
n)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para desenvolver a função
no intervalo
em uma série de cossenos. Isso envolve usar Séries de Fourier, que são ferramentas matemáticas para representar funções periódicas como somas de cossenos e senos. Para resolver isso, vamos precisar calcular os coeficientes da série de cossenos que representam a função dada nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a função é par ou ímpar, porque isso determina se a série de Fourier terá apenas termos de cossenos (função par) ou senos (função ímpar). A função
é uma função par, já que
. Portanto, nossa série de Fourier terá apenas termos de cossenos.
Passo 3
Em seguida, precisamos determinar o período da função para adaptar a série de Fourier ao intervalo dado. O intervalo fornecido é de
a
, então o comprimento total do intervalo é
. Assim, o período
é
.
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes da série de cossenos. A série de Fourier para uma função par é dada por:
Onde os coeficientes
são calculados por:
Passo 5
Substituindo
e
na fórmula dos coeficientes:
Passo 6
Resolva a integral para
:
Usando a identidade trigonométrica:
Então,
Ao avaliar os limites, para
:
Para
:
Usando a identidade
:
Resposta
A série de cossenos que representa a função
no intervalo
é:
Isso significa que a função já está na forma da série de cossenos, e não há termos adicionais na série.