Desenvolva a função dada em uma série de cossenos ou senos, conforme o caso.
n) f(x) = cos(x), -pi/2 < x < pi/2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para desenvolver a função no intervalo em uma série de cossenos. Isso envolve usar Séries de Fourier, que são ferramentas matemáticas para representar funções periódicas como somas de cossenos e senos. Para resolver isso, vamos precisar calcular os coeficientes da série de cossenos que representam a função dada nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a função é par ou ímpar, porque isso determina se a série de Fourier terá apenas termos de cossenos (função par) ou senos (função ímpar). A função é uma função par, já que . Portanto, nossa série de Fourier terá apenas termos de cossenos.

Passo 3

Em seguida, precisamos determinar o período da função para adaptar a série de Fourier ao intervalo dado. O intervalo fornecido é de a , então o comprimento total do intervalo é . Assim, o período é .

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes da série de cossenos. A série de Fourier para uma função par é dada por:
Onde os coeficientes são calculados por:

Passo 5

Substituindo e na fórmula dos coeficientes:

Passo 6

Resolva a integral para :
Usando a identidade trigonométrica:
Então,
Ao avaliar os limites, para :
Para :
Usando a identidade :

Resposta

A série de cossenos que representa a função no intervalo é:
Isso significa que a função já está na forma da série de cossenos, e não há termos adicionais na série.

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