Determine desenvolvimentos de meio-intervalo em senos e cossenos para a função dada.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar os desenvolvimentos de meio-intervalo em senos e cossenos para a função dada. Isso significa que vamos encontrar as séries de Fourier que representam a função usando apenas senos ou apenas cossenos no intervalo de
a
. Para isso, precisamos saber um pouco sobre séries de Fourier e como calcular os coeficientes necessários.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Ela está definida de forma diferente em dois intervalos:
Essa função é simétrica em relação a
, o que nos dá uma pista sobre o tipo de série de Fourier que vamos usar.
Passo 3
Vamos começar encontrando a série de cossenos. As séries de cossenos são usadas para funções pares, ou seja, funções que satisfazem
. Como nossa função é definida no intervalo
a
, vamos estendê-la de maneira par em torno de
.
Passo 4
Os coeficientes da série de cossenos são dados por:
Vamos calcular
e
.
Passo 5
Primeiro, calculamos
:
Integrando, obtemos:
Passo 6
Agora, calculamos
:
Essas integrais podem ser resolvidas por partes. Após fazer os cálculos, encontramos:
Passo 7
Com os coeficientes
e
calculados, a série de cossenos fica:
Passo 8
Agora, vamos encontrar a série de senos. As séries de senos são usadas para funções ímpares, ou seja, funções que satisfazem
. No nosso caso, como a função é simétrica, a série de senos será relativamente simples.
Passo 9
Os coeficientes da série de senos são dados por:
Vamos calcular
.
Passo 10
Calculando
:
Após integrar por partes, obtemos:
Resposta
As séries de Fourier de meio-intervalo para a função
são:
Série de Cossenos:
Série de Senos: