Determine desenvolvimentos de meio-intervalo em senos e cossenos para a função dada.
e) f(x) = { x, 0 < x < pi/2; pi - x, pi/2 <= x < pi }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar os desenvolvimentos de meio-intervalo em senos e cossenos para a função dada. Isso significa que vamos encontrar as séries de Fourier que representam a função usando apenas senos ou apenas cossenos no intervalo de a . Para isso, precisamos saber um pouco sobre séries de Fourier e como calcular os coeficientes necessários.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Ela está definida de forma diferente em dois intervalos:
Essa função é simétrica em relação a , o que nos dá uma pista sobre o tipo de série de Fourier que vamos usar.

Passo 3

Vamos começar encontrando a série de cossenos. As séries de cossenos são usadas para funções pares, ou seja, funções que satisfazem . Como nossa função é definida no intervalo a , vamos estendê-la de maneira par em torno de .

Passo 4

Os coeficientes da série de cossenos são dados por:
Vamos calcular e .

Passo 5

Primeiro, calculamos :
Integrando, obtemos:

Passo 6

Agora, calculamos :
Essas integrais podem ser resolvidas por partes. Após fazer os cálculos, encontramos:

Passo 7

Com os coeficientes e calculados, a série de cossenos fica:

Passo 8

Agora, vamos encontrar a série de senos. As séries de senos são usadas para funções ímpares, ou seja, funções que satisfazem . No nosso caso, como a função é simétrica, a série de senos será relativamente simples.

Passo 9

Os coeficientes da série de senos são dados por:
Vamos calcular .

Passo 10

Calculando :
Após integrar por partes, obtemos:

Resposta

As séries de Fourier de meio-intervalo para a função são:
Série de Cossenos:
Série de Senos:

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