Desenvolva a função dada em uma série de Fourier.
a) f(x) = x^2, 0 < x < 2 pi b) f(x) = 2 - x, 0 < x < 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de desenvolver funções em séries de Fourier! O que a gente vai fazer é pegar a função que você deu e transformá-la em uma soma de senos e cossenos. Isso é super útil pra analisar funções periódicas. Vamos precisar usar um pouco de cálculo para encontrar os coeficientes da série. Vamos resolver as duas partes: a) no intervalo e b) no intervalo .

Parte a) ,

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a função é par ou ímpar. Como é par ( ), sabemos que a série de Fourier vai ter apenas termos de cosseno. A série geral será:

Passo 3

Agora, vamos calcular os coeficientes. O coeficiente é dado por:
Calculando a integral:

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Essa integral pode ser resolvida por partes duas vezes. Após calcular, obtemos:

Passo 5

Com os coeficientes e encontrados, podemos escrever a série de Fourier para :

Parte b) ,

Passo 6

Primeiro, vamos verificar se a função é par ou ímpar. A função é ímpar em relação a algum ponto central, mas vamos considerar a série de Fourier completa com senos e cossenos. A série geral será:
Aqui, , já que o período é .

Passo 7

Vamos calcular o coeficiente :

Passo 8

Agora, calculamos os coeficientes :
Depois de calcular essa integral, obtemos:

Passo 9

Em seguida, calculamos os coeficientes :
Após resolver a integral, temos:

Passo 10

Com todos os coeficientes calculados, a série de Fourier para é:

Resposta

A série de Fourier para as funções dadas são:
a) Para no intervalo :
b) Para no intervalo :

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