Desenvolva a função dada em uma série de Fourier.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de desenvolver funções em séries de Fourier! O que a gente vai fazer é pegar a função que você deu e transformá-la em uma soma de senos e cossenos. Isso é super útil pra analisar funções periódicas. Vamos precisar usar um pouco de cálculo para encontrar os coeficientes da série. Vamos resolver as duas partes: a)
no intervalo
e b)
no intervalo
.
Parte a)
,
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a função é par ou ímpar. Como
é par (
), sabemos que a série de Fourier vai ter apenas termos de cosseno. A série geral será:
Passo 3
Agora, vamos calcular os coeficientes. O coeficiente
é dado por:
Calculando a integral:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
:
Essa integral pode ser resolvida por partes duas vezes. Após calcular, obtemos:
Passo 5
Com os coeficientes
e
encontrados, podemos escrever a série de Fourier para
:
Parte b)
,
Passo 6
Primeiro, vamos verificar se a função é par ou ímpar. A função
é ímpar em relação a algum ponto central, mas vamos considerar a série de Fourier completa com senos e cossenos. A série geral será:
Aqui,
, já que o período é
.
Passo 7
Vamos calcular o coeficiente
:
Passo 8
Agora, calculamos os coeficientes
:
Depois de calcular essa integral, obtemos:
Passo 9
Em seguida, calculamos os coeficientes
:
Após resolver a integral, temos:
Passo 10
Com todos os coeficientes calculados, a série de Fourier para
é:
Resposta
A série de Fourier para as funções dadas são:
a) Para
no intervalo
:
b) Para
no intervalo
: