Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial, determine o intervalo onde a solução está definida.
(3) y(x) =
5 tan(5 x) ; y' = 25 + y^2.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial da forma e uma função . Nosso objetivo é verificar se essa função é solução da equação diferencial e determinar o intervalo onde essa solução está definida. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e verificar se a função satisfaz a equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 3

Calculando a derivada de :
Aqui usamos o fato de que a derivada de em relação a é , e aplicamos a regra da cadeia para derivar .

Passo 4

Agora, vamos calcular o lado direito da equação diferencial :
Sabemos pela identidade trigonométrica que , então:

Passo 5

Comparando com :
Como as duas expressões são iguais, isso mostra que a função satisfaz a equação diferencial dada.

Passo 6

Para determinar o intervalo onde a solução está definida, precisamos observar onde a função está definida. A função tangente não está definida onde seu argumento é , para todo inteiro . Assim:
Portanto, o intervalo de definição da solução é:

Resposta

A função é uma solução da equação diferencial definida para todos os números reais exceto , onde é um inteiro.

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