Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial, determine o intervalo onde a solução está definida.
(3)
.
(3)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial da forma
e uma função
. Nosso objetivo é verificar se essa função é solução da equação diferencial e determinar o intervalo onde essa solução está definida. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e verificar se a função satisfaz a equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.
Passo 3
Calculando a derivada de
:
Aqui usamos o fato de que a derivada de
em relação a
é
, e aplicamos a regra da cadeia para derivar
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o lado direito da equação diferencial
:
Sabemos pela identidade trigonométrica que
, então:
Passo 5
Comparando
com
:
Como as duas expressões são iguais, isso mostra que a função
satisfaz a equação diferencial dada.
Passo 6
Para determinar o intervalo onde a solução está definida, precisamos observar onde a função
está definida. A função tangente não está definida onde seu argumento é
, para todo inteiro
. Assim:
Portanto, o intervalo de definição da solução é:
Resposta
A função
é uma solução da equação diferencial
definida para todos os números reais exceto
, onde
é um inteiro.