Utilize a representação em série de potências, centrada em zero, de
para provar a seguinte expressão para
como soma de uma série numérica:
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para usar a série de potências de
, centrada em zero, para provar uma expressão para
como uma soma infinita. O conteúdo principal aqui envolve séries de potências e a função arco-tangente. Para resolver, vamos precisar conhecer a expansão em série de
e manipular essa série para chegar na expressão desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de potências para
centrada em zero. A série de Taylor para
é dada por:
Essa série converge para
.
Passo 3
Nosso objetivo é relacionar essa série com uma expressão para
. Sabemos que
porque
. Vamos usar esse fato substituindo
na série de
:
Passo 4
Agora, simplificamos a expressão substituindo
. Sabemos que
e
. Portanto:
Passo 5
Queremos isolar
na equação. Para isso, multiplicamos ambos os lados por 3:
Passo 6
Finalmente, simplificamos
para
ajustando a constante multiplicativa:
Resposta
Portanto, provamos que: