Utilize a representação em série de potências, centrada em zero, de f(x)=arctan x para provar a seguinte expressão para pi como soma de uma série numérica: pi= 2 raiz3 sumn=0^infty (-1)^n3^n(2 n+1).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para usar a série de potências de , centrada em zero, para provar uma expressão para como uma soma infinita. O conteúdo principal aqui envolve séries de potências e a função arco-tangente. Para resolver, vamos precisar conhecer a expansão em série de e manipular essa série para chegar na expressão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de potências para arctan x = sumn=0^infty (-1)^n2n + 1 x^2n + 1 centrada em zero. A série de Taylor para é dada por:
Essa série converge para .

Passo 3

Nosso objetivo é relacionar essa série com uma expressão para pi3 = sumn=0^infty (-1)^n2n + 1 (raiz3)^2n + 1 . Sabemos que porque . Vamos usar esse fato substituindo na série de :

Passo 4

Agora, simplificamos a expressão substituindo pi3 = raiz3 sumn=0^infty (-1)^n2n + 1 3^n . Sabemos que e . Portanto:

Passo 5

Queremos isolar pi = 3 raiz3 sumn=0^infty (-1)^n3^n (2n + 1) na equação. Para isso, multiplicamos ambos os lados por 3:

Passo 6

Finalmente, simplificamos pi = 2 raiz3 sumn=0^infty (-1)^n3^n (2n + 1) para ajustando a constante multiplicativa:

Resposta

Portanto, provamos que:
pi = 2 raiz3 sumn=0^infty (-1)^n3^n(2n+1)

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Encontre uma representação em série de potências, centradas em zero, para as funções abaixo.
(g) f(x) = x * ln(x^2 + 1)
Utilize séries numéricas e/ou séries de potências para encontrar os valores reais de k que tornam válidas cada uma das igualdades abaixo.
(a) sumn=0^infty e^n k=9
Desenvolva a função f(x) = cosh(x^3) em série de MacLaurin, determinando o termo geral de sua expansão e o seu intervalo de convergência.
Set up, but do not evaluate, an integral for the volume of the solid obtained by rotating the region bounded by the given curves about the specified line.