Utilize a representação em série de potências, centrada em zero, de
para provar a seguinte expressão para
como soma de uma série numérica:
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para usar a série de potências de
, centrada em zero, para provar uma expressão para
como uma soma infinita. O conteúdo principal aqui envolve séries de potências e a função arco-tangente. Para resolver, vamos precisar conhecer a expansão em série de
e manipular essa série para chegar na expressão desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de potências para
centrada em zero. A série de Taylor para
é dada por:
Essa série converge para
.
Passo 3
Nosso objetivo é relacionar essa série com uma expressão para
. Sabemos que
porque
. Vamos usar esse fato substituindo
na série de
:
Passo 4
Agora, simplificamos a expressão substituindo
. Sabemos que
e
. Portanto:
Passo 5
Queremos isolar
na equação. Para isso, multiplicamos ambos os lados por 3:
Passo 6
Finalmente, simplificamos
para
ajustando a constante multiplicativa:
Resposta
Portanto, provamos que:
Exercícios relacionados
Encontre uma representação em série de potências, centradas em zero, para as funções abaixo.
(g)
(g)
Utilize séries numéricas e/ou séries de potências para encontrar os valores reais de
que tornam válidas cada uma das igualdades abaixo.
(a)
(a)
Desenvolva a função
em série de MacLaurin, determinando o termo geral de sua expansão e o seu intervalo de convergência.
Set up, but do not evaluate, an integral for the volume of the solid obtained by rotating the region bounded by the given curves about the specified line.