Utilize a representação em série de potências, centrada em zero, de f(x)=arctan x para provar a seguinte expressão para pi como soma de uma série numérica: pi= 2 raiz3 sumn=0^infty (-1)^n3^n(2 n+1).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para usar a série de potências de , centrada em zero, para provar uma expressão para como uma soma infinita. O conteúdo principal aqui envolve séries de potências e a função arco-tangente. Para resolver, vamos precisar conhecer a expansão em série de e manipular essa série para chegar na expressão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de potências para arctan x = sumn=0^infty (-1)^n2n + 1 x^2n + 1 centrada em zero. A série de Taylor para é dada por:
Essa série converge para .

Passo 3

Nosso objetivo é relacionar essa série com uma expressão para pi3 = sumn=0^infty (-1)^n2n + 1 (raiz3)^2n + 1 . Sabemos que porque . Vamos usar esse fato substituindo na série de :

Passo 4

Agora, simplificamos a expressão substituindo pi3 = raiz3 sumn=0^infty (-1)^n2n + 1 3^n . Sabemos que e . Portanto:

Passo 5

Queremos isolar pi = 3 raiz3 sumn=0^infty (-1)^n3^n (2n + 1) na equação. Para isso, multiplicamos ambos os lados por 3:

Passo 6

Finalmente, simplificamos pi = 2 raiz3 sumn=0^infty (-1)^n3^n (2n + 1) para ajustando a constante multiplicativa:

Resposta

Portanto, provamos que:
pi = 2 raiz3 sumn=0^infty (-1)^n3^n(2n+1)

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