Encontre uma representação em série de potências, centradas em zero, para as funções abaixo.
(g) f(x) = x * ln(x^2 + 1)

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar uma representação em série de potências para a função , centrada em zero. Isso significa que vamos expressar essa função como uma soma infinita de termos envolvendo potências de . Para resolver isso, vamos precisar entender como expandir funções logarítmicas em séries e usar propriedades de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da expansão em série de . Sabemos que para ,
Essa é uma série de potências que pode ser útil para a gente trabalhar com o termo logarítmico na função .

Passo 3

Agora, vamos adaptar essa série para a nossa função. Observe que temos , que podemos reescrever como . Então, se fizermos , a série fica:
Essa substituição simplifica a expressão e nos prepara para multiplicar pela que está fora do logaritmo.

Passo 4

Agora, voltando à função original , substituímos a s��rie que encontramos:
Aqui, estamos multiplicando cada termo da série por , o que vai aumentar o expoente de em cada termo.

Passo 5

Vamos simplificar a expressão multiplicando pelos termos da série:
Assim, a série de potências para a função fica organizada com termos envolvendo elevado a potências ímpares.

Resposta

A representação em série de potências centrada em zero para a função é:

Exercícios relacionados

Utilize séries numéricas e/ou séries de potências para encontrar os valores reais de k que tornam válidas cada uma das igualdades abaixo.
(a) sumn=0^infty e^n k=9
Utilize desenvolvimento em séries de Maclaurin para calcular os seguintes limites.
(g) lim x 0 cos (2 x^2)-e^x^4x sin (x^3)
Utilize a representação em série de potências, centrada em zero, de f(x)=arctan x para provar a seguinte expressão para pi como soma de uma série numérica: pi= 2 raiz3 sumn=0^infty (-1)^n3^n(2 n+1).
Desenvolva a função f(x) = cosh(x^3) em série de MacLaurin, determinando o termo geral de sua expansão e o seu intervalo de convergência.