Encontre uma representação em série de potências, centradas em zero, para as funções abaixo.
(g)
(g)
Passo 1
Então, a gente tem que encontrar uma representação em série de potências para a função
, centrada em zero. Isso significa que vamos expressar essa função como uma soma infinita de termos envolvendo potências de
. Para resolver isso, vamos precisar entender como expandir funções logarítmicas em séries e usar propriedades de séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da expansão em série de
. Sabemos que para
,
Essa é uma série de potências que pode ser útil para a gente trabalhar com o termo logarítmico na função
.
Passo 3
Agora, vamos adaptar essa série para a nossa função. Observe que temos
, que podemos reescrever como
. Então, se fizermos
, a série fica:
Essa substituição simplifica a expressão e nos prepara para multiplicar pela
que está fora do logaritmo.
Passo 4
Agora, voltando à função original
, substituímos a s��rie que encontramos:
Aqui, estamos multiplicando cada termo da série por
, o que vai aumentar o expoente de
em cada termo.
Passo 5
Vamos simplificar a expressão multiplicando
pelos termos da série:
Assim, a série de potências para a função
fica organizada com termos envolvendo
elevado a potências ímpares.
Resposta
A representação em série de potências centrada em zero para a função
é:
Exercícios relacionados
Utilize séries numéricas e/ou séries de potências para encontrar os valores reais de
que tornam válidas cada uma das igualdades abaixo.
(a)
(a)
Utilize desenvolvimento em séries de Maclaurin para calcular os seguintes limites.
(g)
(g)
Utilize a representação em série de potências, centrada em zero, de
para provar a seguinte expressão para
como soma de uma série numérica:
.
Desenvolva a função
em série de MacLaurin, determinando o termo geral de sua expansão e o seu intervalo de convergência.