Utilize resíduo no infinito para calcular a integral
, onde
é a circunferência centrado na origem de raio 3 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral da função
ao longo de uma circunferência centrada na origem com raio 3, usando o método de resíduo no infinito. Vamos precisar de conceitos de análise complexa, especificamente o Teorema dos Resíduos e a noção de resíduo no infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o resíduo no infinito. Em análise complexa, a soma de todos os resíduos finitos de uma função racional mais o resíduo no infinito é igual a zero. Ou seja:
Isso significa que podemos encontrar o resíduo no infinito e, assim, obter a soma dos resíduos dentro da nossa curva de integração.
Passo 3
Para encontrar o resíduo no infinito, podemos usar a seguinte fórmula:
Vamos fazer a substituição
para transformar o ponto no infinito para o ponto 0.
Passo 4
Vamos substituir
na função
:
Simplificando:
Multiplicamos por
conforme a fórmula:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o resíduo dessa função em
. Observando a expressão, vemos que o termo dominante para
é
, o que sugere que a ordem do polo em
é 5. Porém, para encontrar o resíduo, precisamos isolar o termo
na expansão em série de Laurent.
Vamos reescrever a função:
Para encontrar o coeficiente de
, expandimos os denominadores em séries de potências para
:
Multiplicando tudo:
Para encontrar o termo de
, precisamos considerar as combinações dos termos que resultam em
.
Após realizar a multiplicação adequada, descobrimos que o coeficiente de
é
.
Passo 6
Portanto,
E então,
Resposta
A integral vale
.