Utilize resíduo no infinito para calcular a integral integralC z^3(1-3 z)(1+z)(1+2 z^4) d z, onde C é a circunferência centrado na origem de raio 3 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral da função z^3(1-3 z)(1+z)(1+2 z^4) ao longo de uma circunferência centrada na origem com raio 3, usando o método de resíduo no infinito. Vamos precisar de conceitos de análise complexa, especificamente o Teorema dos Resíduos e a noção de resíduo no infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o resíduo no infinito. Em análise complexa, a soma de todos os resíduos finitos de uma função racional mais o resíduo no infinito é igual a zero. Ou seja:
sum Resíduos finitos + Resíduo no infinito = 0 íí
Isso significa que podemos encontrar o resíduo no infinito e, assim, obter a soma dos resíduos dentro da nossa curva de integração.

Passo 3

Para encontrar o resíduo no infinito, podemos usar a seguinte fórmula:
Res(f, infty) = -Res(f(1/w)w^2, 0)
Vamos fazer a substituição w = 1/z para transformar o ponto no infinito para o ponto 0.

Passo 4

Vamos substituir z = 1/w na função f(z):
f(z) = z^3(1-3 z)(1+z)(1+2 z^4) = (1/w)^3(1 - 3(1/w))(1 + 1/w)(1 + 2(1/w)^4)
Simplificando:
f(1w) = w^-3(1 - 3w^-1)(1 + w^-1)(1 + 2w^-4) = w^-3(w - 3)(w + 1)(2 + w^4)
Multiplicamos por 1w^2 conforme a fórmula:
f(1/w)w^2 = w^-3(w - 3)(w + 1)(2 + w^4) cdot w^-2 = w^-5(w - 3)(w + 1)(2 + w^4)

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o resíduo dessa função em w=0. Observando a expressão, vemos que o termo dominante para w to 0 é w^-5 cdot (-3), o que sugere que a ordem do polo em w=0 é 5. Porém, para encontrar o resíduo, precisamos isolar o termo w^-1 na expansão em série de Laurent.
Vamos reescrever a função:
-3w^-5 + w^-4(w + 1)(2 + w^4)
Para encontrar o coeficiente de w^-1, expandimos os denominadores em séries de potências para w to 0:
1w + 1 = 1 - w + w^2 - w^3 + dots
12 + w^4 = 12(1 - w^42 + w^84 - dots)
Multiplicando tudo:
-3w^-5 + w^-4(w + 1)(2 + w^4) = (-3w^-5 + w^-4) cdot (1 - w + w^2 - w^3 + dots) cdot 12(1 - w^42 + dots)
Para encontrar o termo de w^-1, precisamos considerar as combinações dos termos que resultam em w^-1.
Após realizar a multiplicação adequada, descobrimos que o coeficiente de w^-1 é -32.

Passo 6

Portanto,
Res(f(1/w)w^2, 0) = -32
E então,
Res(f, infty) = -(-32) = 32

Resposta

A integral vale 3,pi,i.

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