Determine a série de Laurent de
para cada um dos domínios abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a série de Laurent da função
no domínio onde
. Isso significa que queremos expressar essa função como uma série de potências que converge dentro desse círculo de raio 1 no plano complexo. Para isso, vamos precisar usar frações parciais e séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a função
em frações parciais. Isso facilita a expansão em série. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de
e
. Podemos escolher valores de
que simplifiquem a equação:
- Para
:
- Para
:
Então, a decomposição em frações parciais fica:
Passo 4
Agora, vamos expandir cada termo separadamente em séries de potências válidas para
. Vamos reescrever os denominadores para facilitar:
Passo 5
Lembrando que a série geométrica é dada por
para
. Vamos aplicar isso a cada termo:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Agora, juntando as duas séries que encontramos:
Simplificando:
Resposta
A série de Laurent de
para
é:
Exercícios relacionados
Desenvolva em série de Fourier a função abaixo:
Use o teorema da convolução para calcular a transformada inversa de
.
Utilize resíduo no infinito para calcular a integral
, onde
é a circunferência centrado na origem de raio 3 .
Calcule o resíduo em
:
e