Determine a série de Laurent de f(z) = -1 / ((z - 1)(z - 2)) para cada um dos domínios abaixo: |z| < 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a série de Laurent da função no domínio onde . Isso significa que queremos expressar essa função como uma série de potências que converge dentro desse círculo de raio 1 no plano complexo. Para isso, vamos precisar usar frações parciais e séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a função em frações parciais. Isso facilita a expansão em série. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de e . Podemos escolher valores de que simplifiquem a equação:
  • Para :
  • Para :
Então, a decomposição em frações parciais fica:

Passo 4

Agora, vamos expandir cada termo separadamente em séries de potências válidas para . Vamos reescrever os denominadores para facilitar:

Passo 5

Lembrando que a série geométrica é dada por para . Vamos aplicar isso a cada termo:
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Agora, juntando as duas séries que encontramos:
Simplificando:

Resposta

A série de Laurent de para é:

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