Oi! Vamos resolver esse exercício de série de Fourier juntos. O que a gente precisa é desenvolver a função na série de Fourier, considerando que ela é periódica com período , ou seja, para . Vamos precisar entender os conceitos de série de Fourier e como calcular os coeficientes , e .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier representa uma função periódica como uma soma de senos e cossenos. A fórmula geral é:
Aqui, precisamos encontrar os coeficientes , e que melhor aproximam a função .
Passo 3
Vamos começar calculando o coeficiente . Esse coeficiente representa a média da função no intervalo considerado. A fórmula para é:
Como , vamos calcular essa integral.
Passo 4
Devido à simetria da função , que é uma função par (ou seja, ), sabemos que todos os coeficientes serão zero, porque os senos são funções ímpares. Portanto, não precisamos calcular .
Passo 5
Agora, vamos calcular . A fórmula para é:
Como é par e também é par, o produto é par, então podemos simplificar a integral de a e multiplicar por 2:
Passo 6
Vamos resolver a integral usando integração por partes. Vamos definir:
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Passo 7
Substituindo os valores, temos:
Calculando cada termo:
Portanto:
Passo 8
Voltando ao cálculo de :
Sabendo que , temos:
Passo 9
Agora, reunindo todos os coeficientes, a série de Fourier para é: