Desenvolva em série de Fourier a função abaixo:

Passo 1

Oi! Vamos resolver esse exercício de série de Fourier juntos. O que a gente precisa é desenvolver a função na série de Fourier, considerando que ela é periódica com período , ou seja, para . Vamos precisar entender os conceitos de série de Fourier e como calcular os coeficientes , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier representa uma função periódica como uma soma de senos e cossenos. A fórmula geral é:
Aqui, precisamos encontrar os coeficientes , e que melhor aproximam a função .

Passo 3

Vamos começar calculando o coeficiente . Esse coeficiente representa a média da função no intervalo considerado. A fórmula para é:
Como , vamos calcular essa integral.

Passo 4

Devido à simetria da função , que é uma função par (ou seja, ), sabemos que todos os coeficientes serão zero, porque os senos são funções ímpares. Portanto, não precisamos calcular .

Passo 5

Agora, vamos calcular . A fórmula para é:
Como é par e também é par, o produto é par, então podemos simplificar a integral de a e multiplicar por 2:

Passo 6

Vamos resolver a integral usando integração por partes. Vamos definir:
Aplicando a fórmula da integração por partes:

Passo 7

Substituindo os valores, temos:
Calculando cada termo:
Portanto:

Passo 8

Voltando ao cálculo de :
Sabendo que , temos:

Passo 9

Agora, reunindo todos os coeficientes, a série de Fourier para é:
Onde:
Por isso, a série de Fourier fica:

Resposta

Portanto, a série de Fourier para a função é:

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