Desenvolver o perfil de temperatura em uma placa plana de temperatura em e em . Admita que as propriedades termofísicas são constantes, e que não haja geração de energia interna e que o fluxo de calor ocorre na direção de x (regime permanente e fluxo unidimensional). Considere e é a espessura da placa plana. Considere: número de letras do seu nome completo número de letra do seu primeiro nome e a sua idade ( mm )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenvolver o perfil de temperatura numa placa plana onde a temperatura é na posição e na posição . A matéria que vamos usar aqui é a condução de calor em regime permanente e unidimensional. Para isso, vamos precisar das propriedades termofísicas da placa, que são constantes, e considerar que não há geração de energia interna.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Fourier da condução de calor, que descreve como o calor flui através de um material. Para o caso unidimensional e em regime permanente, a equação é:
Isso significa que a segunda derivada da temperatura em relação à posição é igual a zero.

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Quando a segunda derivada é zero, isso indica que a primeira derivada é constante. Então, integrando uma vez, temos:
Onde é uma constante de integração.
Integrando novamente, obtemos a expressão para a temperatura :
Aqui, é outra constante de integração.

Passo 4

Para encontrar os valores de e , vamos aplicar as condições de contorno fornecidas no problema:
  1. Na posição , a temperatura é :
  2. Na posição , a temperatura é :
    Resolvendo para :

Passo 5

Agora que temos os valores de e , vamos substituí-los na expressão geral de :
Podemos também reescrever essa equação de forma mais clara:
Isso mostra que a temperatura varia linearmente com a posição na placa.

Resposta

O perfil de temperatura na placa é dado por:
Ou, de forma simplificada:

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Resp: