Desenvolver o perfil de temperatura em uma placa plana de temperatura T1 em x=0 e T2 em x=L. Admita que as propriedades termofísicas são constantes, e que não haja geração de energia interna e que o fluxo de calor ocorre na direção de x (regime permanente e fluxo unidimensional). Considere T1>T2 e L é a espessura da placa plana. Considere: T1= número de letras do seu nome completo ( ^circ C), T2= número de letra do seu primeiro nome ( ^circ C) e L= a sua idade ( mm )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenvolver o perfil de temperatura numa placa plana onde a temperatura é T1 na posição x=0 e T2 na posição x=L. A matéria que vamos usar aqui é a condução de calor em regime permanente e unidimensional. Para isso, vamos precisar das propriedades termofísicas da placa, que são constantes, e considerar que não há geração de energia interna.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Fourier da condução de calor, que descreve como o calor flui através de um material. Para o caso unidimensional e em regime permanente, a equação é:
d^2 Tdx^2 = 0
Isso significa que a segunda derivada da temperatura em relação à posição x é igual a zero.

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Quando a segunda derivada é zero, isso indica que a primeira derivada é constante. Então, integrando uma vez, temos:
dTdx = C
Onde C é uma constante de integração.
Integrando novamente, obtemos a expressão para a temperatura T(x):
T(x) = Cx + D
Aqui, D é outra constante de integração.

Passo 4

Para encontrar os valores de C e D, vamos aplicar as condições de contorno fornecidas no problema:
  1. Na posição x=0, a temperatura é T1:
    T(0) = C cdot 0 + D = T1 Rightarrow D = T1
  2. Na posição x=L, a temperatura é T2:
    T(L) = C cdot L + T1 = T2
    Resolvendo para C:
    C = T2 - T1L

Passo 5

Agora que temos os valores de C e D, vamos substituí-los na expressão geral de T(x):
T(x) = ( T2 - T1L ) x + T1
Podemos também reescrever essa equação de forma mais clara:
T(x) = T1 + ( T2 - T1L ) x
Isso mostra que a temperatura varia linearmente com a posição x na placa.

Resposta

O perfil de temperatura na placa é dado por:
T(x) = T1 + ( T2 - T1L ) x
Ou, de forma simplificada:
T(x) = T1 + ( T2 - T1L ) x para 0 <= x <= L

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