Desenvolver o perfil de temperatura em uma placa plana de temperatura
em
e
em
. Admita que as propriedades termofísicas são constantes, e que não haja geração de energia interna e que o fluxo de calor ocorre na direção de x (regime permanente e fluxo unidimensional). Considere
e
é a espessura da placa plana. Considere:
número de letras do seu nome completo
número de letra do seu primeiro nome
e
a sua idade ( mm )
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenvolver o perfil de temperatura numa placa plana onde a temperatura é
na posição
e
na posição
. A matéria que vamos usar aqui é a condução de calor em regime permanente e unidimensional. Para isso, vamos precisar das propriedades termofísicas da placa, que são constantes, e considerar que não há geração de energia interna.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Fourier da condução de calor, que descreve como o calor flui através de um material. Para o caso unidimensional e em regime permanente, a equação é:
Isso significa que a segunda derivada da temperatura em relação à posição
é igual a zero.
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Quando a segunda derivada é zero, isso indica que a primeira derivada é constante. Então, integrando uma vez, temos:
Onde
é uma constante de integração.
Integrando novamente, obtemos a expressão para a temperatura
:
Aqui,
é outra constante de integração.
Passo 4
Para encontrar os valores de
e
, vamos aplicar as condições de contorno fornecidas no problema:
-
Na posição
, a temperatura é : -
Na posição
, a temperatura é : Resolvendo para:
Passo 5
Agora que temos os valores de
e
, vamos substituí-los na expressão geral de
:
Podemos também reescrever essa equação de forma mais clara:
Isso mostra que a temperatura varia linearmente com a posição
na placa.
Resposta
O perfil de temperatura na placa é dado por:
Ou, de forma simplificada: