Por um fio de aço inoxidável [k=19 W /(m ^circ C)] de 3 mm de diâmetro passa uma corrente elétrica de 200A. A resistência elétrica do fio é 0,099 Omega e seu comprimento é igual a 1 m . O fio está imerso num fluido a 110^circ C e o coeficiente de transferência de calor por convecção é 4 kW /(m^2 ^circ C). Calcule a temperatura no centro do fio. Considere que toda a potência do fio é dissipada no líquido por convecção. Dado: P=I^2 R, em que P é a potência gerada no fio, I , a corrente elétrica e R a resistência do fio.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos um fio de aço inoxidável com diâmetro de 3 mm, comprimento de 1 metro e resistência elétrica de . Este fio transporta uma corrente elétrica de 200 A, gerando uma potência que será dissipada pelo líquido ao seu redor por convecção. Precisamos calcular a temperatura no centro do fio. Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de resistência elétrica, geração de potência elétrica e transferência de calor por convecção, além das propriedades térmicas do material do fio.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a potência elétrica gerada no fio usando a fórmula fornecida:
P = I^2 R
Onde:
  • P = (200)^2 times 0,099 = 40000 times 0,099 = 3960 , W , (ou 3,96 kW) é a potência gerada,
  • é a corrente elétrica (200 A),
  • é a resistência elétrica do fio (0,099 Ω).
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, sabemos que toda essa potência é dissipada para o líquido por convecção. A transferência de calor por convecção é dada pela fórmula:
Q = h times A times De
Onde:
  • é a taxa de transferência de calor (3,96 kW),
  • é o coeficiente de transferência de calor por convecção (4 kW/(m²·°C)),
  • é a área superficial do fio,
  • é a diferença de temperatura entre a superfície do fio e o líquido.
Precisamos encontrar , que nos ajudará a determinar a temperatura no centro do fio.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a área superficial do fio. Como o fio é cilíndrico, a área superficial A = pi times d times L é dada por:
A = pi times 0,003 times 1 approx 0,00942 , m²
Onde:
  • De é o diâmetro do fio (3 mm = 0,003 m),
  • é o comprimento do fio (1 m).
Substituindo os valores:
²
Agora, podemos rearranjar a fórmula da convecção para encontrar :

Passo 5

Sabemos que o líquido está a Tsuperfície = Tlíquido + De e que a diferença de temperatura entre a superfície do fio e o líquido é de aproximadamente Tcentro = Tsuperfície + De. Portanto, a temperatura na superfície do fio é:
íí
Agora, precisamos encontrar a temperatura no centro do fio. Para isso, consideramos que a temperatura varia do centro até a superfície, e a diferença total é . Assim, a temperatura no centro do fio é:
í

Resposta

A temperatura no centro do fio é aproximadamente .

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