Uma parede plana de espessura 7,5 cm gera calor internamente na razão de 0,35 MW / m^3. Um dos lados da parede é isolado e o outro está exposto a um ambiente cuja temperatura é 93^circ C. O coeficiente de transferência de calor por convecção entre a parede e o ambiente é 570 W /(m^2 ^circ C). A condutividade térmica da parede é 21 W /(m ^circ C). Calcule a máxima temperatura da parede.

Passo 1

Vamos resolver o exercício onde uma parede plana de espessura 7,5,cm gera calor internamente na razão de 0,35,MW/m^3. Um lado da parede é isolado e o outro está exposto a um ambiente com temperatura de 93^circC. O coeficiente de transferência de calor por convecção é 570,W/(m^2cdot^circC) e a condutividade térmica da parede é 21,W/(mcdot^circC). Nosso objetivo é calcular a máxima temperatura da parede. Para isso, vamos utilizar conceitos de transferência de calor por condução e convecção, além de considerar a geração interna de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos:
  • Espessura da parede: L = 7,5,cm = 0,075,m
  • Geração interna de calor: q''' = 0,35,MW/m^3 = 350.000,W/m^3
  • Temperatura ambiente: Tamb = 93^circC

Passo 3

Como há geração interna de calor na parede, a temperatura varia ao longo da espessura. A solução geral para a temperatura T(x) em regime permanente com geração interna de calor é dada por:
T(x) = -q'''2kx^2 + C1x + C2
Onde:
  • k é a condutividade térmica,
  • C1 e C2 são constantes de integração,
  • x é a posição dentro da parede, com x=0 no lado isolado.

Passo 4

Aplicamos as condições de contorno para determinar as constantes C1 e C2.
Primeira condição de contorno (lado isolado, x=0):
Como o lado é isolado, não há fluxo de calor, ou seja, a derivada da temperatura em relação a x é zero.
dTdx|x=0 = 0
Calculando a derivada de T(x):
dTdx = -q'''kx + C1
Aplicando x=0:
0 = -q'''k(0) + C1 Rightarrow C1 = 0

Passo 5

Segunda condição de contorno (lado convectivo, x=L):
No lado exposto ao ambiente, aplicamos a condição de convecção:
-k dTdx|x=L = h(T(L) - Tamb)
Substituindo C1 = 0 na expressão da derivada:
dTdx|x=L = -q'''kL
Substituindo na condição de convecção:
-k (-q'''kL) = h(T(L) - Tamb)
Simplificando:
q''' L = h(T(L) - Tamb)
Resolvendo para T(L):
T(L) = q''' Lh + Tamb

Passo 6

Agora, substituímos os valores numéricos para encontrar T(L):
T(L) = 350.000,W/m^3 times 0,075,m570,W/(m^2cdot^circC) + 93^circC
Calculando:
T(L) = 26.250,W/m^2570,W/(m^2cdot^circC) + 93^circC approx 46,05^circC + 93^circC = 139,05^circC

Passo 7

Para encontrar a máxima temperatura da parede, observamos que ela ocorre no lado isolado ( x=0). Usando a expressão de T(x):
T(0) = -q'''2k(0)^2 + C1(0) + C2 = C2
Sabemos que C2 = T(L) + q''' L^22k, substituindo os valores:
C2 = 139,05^circC + 350.000,W/m^3 times (0,075,m)^22 times 21,W/(mcdot^circC)
Calculando:
C2 = 139,05^circC + 350.000 times 0,00562542 approx 139,05^circC + 46,875^circC = 185,925^circC

Resposta

A máxima temperatura da parede é aproximadamente 185,93^circC.

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