Desenvolver em série de Taylor e Maclaurin as funções:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenvolver a série de Taylor e Maclaurin da função
. Isso significa que vamos encontrar uma expansão em série que representa essa função perto de um ponto específico. No caso da série de Maclaurin, o ponto é
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são as séries de Taylor e Maclaurin e como aplicá-las a funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Maclaurin. É um tipo especial de série de Taylor onde o desenvolvimento é feito em torno de
. A fórmula geral da série de Maclaurin para uma função
é:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de
avaliadas em
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
- A primeira derivada:
- A segunda derivada:
- A terceira derivada:
- E assim por diante…
Observamos que cada derivada é multiplicada por 3 a cada vez.
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas em
:
-
-
-
-
- E assim por diante…
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula da série de Maclaurin, temos:
Simplificando os coeficientes:
Passo 6
Observe que podemos escrever isso de forma mais geral. Notamos que o
-ésimo termo da série é:
Portanto, a série de Maclaurin para
é:
Resposta
A série de Maclaurin para
é:
Exercícios relacionados
Usando séries de Maclaurin, mostre que
.
Determine o intervalo de convergência da série
.
Desenvolver em série de Taylor e Maclaurin as funções:
(h)
(h)
Utilize desenvolvimento em séries de Maclaurin para calcular os seguintes limites.
(d)
(d)