Desenvolver em série de Taylor e Maclaurin as funções:
© f(x)=e^(3 x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenvolver a série de Taylor e Maclaurin da função . Isso significa que vamos encontrar uma expansão em série que representa essa função perto de um ponto específico. No caso da série de Maclaurin, o ponto é . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são as séries de Taylor e Maclaurin e como aplicá-las a funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Maclaurin. É um tipo especial de série de Taylor onde o desenvolvimento é feito em torno de . A fórmula geral da série de Maclaurin para uma função é:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de avaliadas em .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
  • A primeira derivada:
  • A segunda derivada:
  • A terceira derivada:
  • E assim por diante…
Observamos que cada derivada é multiplicada por 3 a cada vez.

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas em :
  • E assim por diante…

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula da série de Maclaurin, temos:
Simplificando os coeficientes:

Passo 6

Observe que podemos escrever isso de forma mais geral. Notamos que o -ésimo termo da série é:
Portanto, a série de Maclaurin para é:

Resposta

A série de Maclaurin para é:

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