Utilize desenvolvimento em séries de Maclaurin para calcular os seguintes limites.
(d) lim x 0 ln (1+x^2)-3 sin (2 x^2)x^2

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse limite usando séries de Maclaurin. O enunciado pede para calcular . Para isso, vamos precisar conhecer as expansões em séries de Maclaurin para e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de Maclaurin para ln(1+x) = x - x^22 + x^33 - x^44 + cdots . Ela é dada por:
ln(1 + x^2) = x^2 - x^42 + x^63 - cdots
Como no nosso caso temos , substituímos por :

Passo 3

Agora, vamos ver a série de Maclaurin para sin(x) = x - x^36 + x^5120 - cdots :
sin(2x^2) = 2x^2 - (2x^2)^36 + (2x^2)^5120 - cdots = 2x^2 - 8x^66 + cdots
No nosso caso, temos , então substituímos por :

Passo 4

Vamos agora montar a expressão do numerador usando as expansões que encontramos:
ln(1 + x^2) - 3 sin(2x^2) = ( x^2 - x^42 + x^63 - cdots ) - 3 ( 2x^2 - 8x^66 + cdots )
Simplificando:
x^2 - x^42 + x^63 - 6x^2 + 4x^6 + cdots = -5x^2 - x^42 + 13x^63 + cdots

Passo 5

Agora, vamos dividir o numerador por -5x^2 - x^42 + 13x^63 + cdotsx^2 = -5 - x^22 + 13x^43 + cdots :

Passo 6

Por fim, vamos calcular o limite quando lim x 0 ( -5 - x^22 + 13x^43 + cdots ) = -5 tende a 0. Os termos que contêm vão se aproximar de zero, então:

Resposta

O limite é .

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