Usando séries de Maclaurin, mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que a integral de
é
, usando séries de Maclaurin. A gente vai precisar entender o que é uma série de Maclaurin, como expandir a função
em série e depois integrar cada termo dessa série para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Maclaurin. É uma forma de escrever uma função como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função avaliadas em 0. Para a função
, a série de Maclaurin é conhecida e fica assim:
Isso significa que podemos escrever
como:
Passo 3
Agora que temos a série de Maclaurin para
, vamos integrar termo por termo. A integral de
é:
Vamos integrar cada termo individualmente:
Então, a integral da série fica:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos ver se essa série integrada corresponde à série de Maclaurin para
. Sabemos que:
Escrevendo alguns termos:
Observamos que a série que obtivemos ao integrar
é exatamente a série de
, já que:
Resposta
Exercícios relacionados
Determine o intervalo de convergência da série
.
Expresse as integrais indefinidas abaixo como uma série de potências, centradas em zero.
(b)
(b)
Desenvolver em série de Taylor e Maclaurin as funções:
©
©
Desenvolver em série de Taylor e Maclaurin as funções:
(h)
(h)