Usando séries de Maclaurin, mostre que integral cos x d x=sin x+k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que a integral de cos x é sin x + k, usando séries de Maclaurin. A gente vai precisar entender o que é uma série de Maclaurin, como expandir a função cos x em série e depois integrar cada termo dessa série para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Maclaurin. É uma forma de escrever uma função como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função avaliadas em 0. Para a função cos x, a série de Maclaurin é conhecida e fica assim:
cos x = sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n)!
Isso significa que podemos escrever cos x como:
cos x = 1 - x^22! + x^44! - x^66! + cdots

Passo 3

Agora que temos a série de Maclaurin para cos x, vamos integrar termo por termo. A integral de cos x é:
integral cos x , dx = integral (1 - x^22! + x^44! - x^66! + cdots ) dx
Vamos integrar cada termo individualmente:
integral 1 , dx = x
integral -x^22! , dx = -x^33 cdot 2!
integral x^44! , dx = x^55 cdot 4!
integral -x^66! , dx = -x^77 cdot 6!
vdots
Então, a integral da série fica:
integral cos x , dx = x - x^33 cdot 2! + x^55 cdot 4! - x^77 cdot 6! + cdots + k
Onde k é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos ver se essa série integrada corresponde à série de Maclaurin para sin x. Sabemos que:
sin x = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)!
Escrevendo alguns termos:
sin x = x - x^33! + x^55! - x^77! + cdots
Observamos que a série que obtivemos ao integrar cos x é exatamente a série de sin x, já que:
13 cdot 2! = 13!, 15 cdot 4! = 15!, e assim por diante

Resposta

integral cos x , dx = sin x + k

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