Determine o intervalo de convergência da série sumn=1^infty (3 x-5)^n7^n n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o intervalo de convergência da série sumn=1^infty (3x -5)^n7^n n. Isso significa que a gente precisa descobrir para quais valores de x essa série dá certo, ou seja, ela converge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bacana para analisar esse tipo de série.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série de um jeito que fique mais fácil de aplicar o teste. A série é:
sumn=1^infty (3x -5)^n7^n n
Podemos simplificar a expressão dentro da soma:
(3x -5)^n7^n n = (3x -57)^n cdot 1n
Então, nossa série fica:
sumn=1^infty 1n (3x -57)^n

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão, que diz que se a razão entre termos consecutivos da série for menor que 1 em módulo, a série converge. Mais formalmente, se temos uma série sum an, calculamos:
L = limn to infty | an+1an |
E analisamos:
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste não é conclusivo.

Passo 4

Vamos identificar an na nossa série:
an = 1n (3x -57)^n
Agora, calculamos an+1:
an+1 = 1n+1 (3x -57)^n+1
Agora, aplicamos o teste da razão:
an+1an = 1n+1 (3x -57)^n+11n (3x -57)^n = nn+1 cdot 3x -57

Passo 5

Vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | nn+1 cdot 3x -57 |
Sabemos que limn to infty nn+1 = 1, então:
L = | 3x -57 |
Para a série convergir, precisamos que L < 1:
| 3x -57 | < 1

Passo 6

Vamos resolver essa desigualdade:
| 3x -57 | < 1 implies -1 < 3x -57 < 1
Multiplicando todos os lados por 7:
-7 < 3x -5 < 7
Agora, somamos 5 em todas as partes:
-7 +5 < 3x < 7 +5 implies -2 < 3x < 12
Dividindo tudo por 3:
-23 < x < 4

Passo 7

Então, o intervalo de convergência é x entre -23 e 4. Mas, para finalizar, precisamos verificar as extremidades do intervalo, ou seja, x = -23 e x = 4, para ver se a série converge nesses pontos.

Passo 8

Primeiro, vamos testar x = -23:
Substituindo na série:
sumn=1^infty (3(-23) -5)^n7^n n = sumn=1^infty (-2 -5)^n7^n n = sumn=1^infty (-7)^n7^n n = sumn=1^infty (-1)^nn
Essa é a série alternada harmônica, que converge.
Agora, vamos testar x = 4:
Substituindo na série:
sumn=1^infty (3(4) -5)^n7^n n = sumn=1^infty (12 -5)^n7^n n = sumn=1^infty 7^n7^n n = sumn=1^infty 1n
Essa é a série harmônica, que diverge.

Resposta

O intervalo de convergência da série é -23 <= x < 4.

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