A
long is cut at 1 -meter intervals and its crosssectional areas
(at a distance
from the end of the
) are listed in the table. Use the Midpoint Rule with
to estimate the volume of the log.
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---|---|---|---|
0 | 0.68 | 6 | 0.53 |
1 | 0.65 | 7 | 0.55 |
2 | 0.64 | 8 | 0.52 |
3 | 0.61 | 9 | 0.50 |
4 | 0.58 | 10 | 0.48 |
5 | 0.59 |
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede. Temos um tronco de árvore (log) com 10 metros de comprimento, e em intervalos de 1 metro, foram medidas as áreas da seção transversal
em diferentes posições
ao longo do tronco. A matéria que vamos usar aqui é a Regra do Ponto Médio, que é uma técnica de integração numérica para estimar o volume do tronco. Para resolver, precisamos aplicar essa regra com
intervalos usando os dados fornecidos na tabela.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Regra do Ponto Médio. Essa regra aproxima a integral (neste caso, o volume) dividindo a área sob a curva em intervalos iguais e usando o valor da função no ponto médio de cada intervalo para calcular a área de cada retângulo. A fórmula geral é:
onde
é a largura de cada intervalo e
é o ponto médio de cada intervalo.
Passo 3
Como o comprimento total é de 10 metros e vamos usar
intervalos, cada intervalo terá:
Passo 4
Agora, vamos identificar os pontos médios de cada intervalo:
- Intervalo 0-2 m: Ponto médio em
m - Intervalo 2-4 m: Ponto médio em
m - Intervalo 4-6 m: Ponto médio em
m - Intervalo 6-8 m: Ponto médio em
m - Intervalo 8-10 m: Ponto médio em
m
Passo 5
A seguir, vamos pegar as áreas correspondentes a esses pontos médios a partir da tabela:
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula da Regra do Ponto Médio:
Substituindo os valores:
Passo 7
Vamos somar as áreas:
Passo 8
Multiplicamos pela largura do intervalo:
Resposta
O volume estimado do tronco usando a Regra do Ponto Médio com
é de aproximadamente 5,80 metros cúbicos.