A log 10 m long is cut at 1 -meter intervals and its crosssectional areas A (at a distance x from the end of the log ) are listed in the table. Use the Midpoint Rule with n = 5 to estimate the volume of the log.
x(m) A(m²) x(m) A(m²)
0 0.68 6 0.53
1 0.65 7 0.55
2 0.64 8 0.52
3 0.61 9 0.50
4 0.58 10 0.48
5 0.59

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede. Temos um tronco de árvore (log) com 10 metros de comprimento, e em intervalos de 1 metro, foram medidas as áreas da seção transversal A em diferentes posições x ao longo do tronco. A matéria que vamos usar aqui é a Regra do Ponto Médio, que é uma técnica de integração numérica para estimar o volume do tronco. Para resolver, precisamos aplicar essa regra com n = 5 intervalos usando os dados fornecidos na tabela.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Regra do Ponto Médio. Essa regra aproxima a integral (neste caso, o volume) dividindo a área sob a curva em intervalos iguais e usando o valor da função no ponto médio de cada intervalo para calcular a área de cada retângulo. A fórmula geral é:
onde Delta x é a largura de cada intervalo e é o ponto médio de cada intervalo.

Passo 3

Como o comprimento total é de 10 metros e vamos usar n = 5 intervalos, cada intervalo terá:

Passo 4

Agora, vamos identificar os pontos médios de cada intervalo:
  1. Intervalo 0-2 m: Ponto médio em x = 1 m
  2. Intervalo 2-4 m: Ponto médio em x = 3 m
  3. Intervalo 4-6 m: Ponto médio em x = 5 m
  4. Intervalo 6-8 m: Ponto médio em x = 7 m
  5. Intervalo 8-10 m: Ponto médio em x = 9 m

Passo 5

A seguir, vamos pegar as áreas correspondentes a esses pontos médios a partir da tabela:

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da Regra do Ponto Médio:
Substituindo os valores:

Passo 7

Vamos somar as áreas:

Passo 8

Multiplicamos pela largura do intervalo:

Resposta

O volume estimado do tronco usando a Regra do Ponto Médio com n = 5 é de aproximadamente 5,80 metros cúbicos.

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