Determine o intervalo de convergência da série de potências que representa a função f(x) = 4/x^2 expandida em torno de a = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o intervalo onde a série de potências que representa a função , expandida em torno de , converge. Basicamente, vamos transformar essa função em uma série que seja fácil de trabalhar e descobrir para quais valores de essa série faz sentido (ou seja, “não explode” para infinito).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a expansão. Queremos expandir em torno de , então vamos deixar claro que , onde . Assim, nossa função fica:
Agora, temos a função em termos de , o que vai facilitar a aplicação da série de potências.

Passo 3

A próxima etapa é lembrar da expansão da série de potências para . Sabemos que:
Para o nosso caso, , então substituindo, temos:
Multiplicando por 4, a função original fica:
Lembrando que , portanto:

Passo 4

Agora que temos a série, precisamos encontrar o intervalo de convergência. Para isso, usamos o Critério da Razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de a série não diverge.
Aplicando o critério da razão, consideramos:
Para a série convergir, esse limite deve ser menor que 1:

Passo 5

Resolvendo a desigualdade , temos:
Adicionando 1 em todos os lados:
Então, o intervalo de convergência é de 0 a 2.

Resposta

O intervalo de convergência da série de potências é .

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