Determine o intervalo de convergência da série de potências que representa a função expandida em torno de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o intervalo onde a série de potências que representa a função , expandida em torno de , converge. Basicamente, vamos transformar essa função em uma série que seja fácil de trabalhar e descobrir para quais valores de essa série faz sentido (ou seja, “não explode” para infinito).
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a expansão. Queremos expandir em torno de , então vamos deixar claro que , onde . Assim, nossa função fica:
Agora, temos a função em termos de , o que vai facilitar a aplicação da série de potências.
Passo 3
A próxima etapa é lembrar da expansão da série de potências para . Sabemos que:
Para o nosso caso, , então substituindo, temos:
Multiplicando por 4, a função original fica:
Lembrando que , portanto:
Passo 4
Agora que temos a série, precisamos encontrar o intervalo de convergência. Para isso, usamos o Critério da Razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de a série não diverge.
Aplicando o critério da razão, consideramos:
Para a série convergir, esse limite deve ser menor que 1:
Passo 5
Resolvendo a desigualdade , temos:
Adicionando 1 em todos os lados:
Então, o intervalo de convergência é de 0 a 2.
Resposta
O intervalo de convergência da série de potências é .