Encontre uma representação em série de potências, centradas em zero, para as funções abaixo.
(e) f(x) = x^3 / (x - 2)^2

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo da Matéria:
A gente precisa encontrar uma representação em série de potências para a função , centrada em zero. Isso significa expressar essa função como uma soma infinita de termos envolvendo potências de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries de potências e manipulação algébrica de séries.

Passo 2

Reescrevendo a Função para Facilitar a Série:
Primeiro, vamos observar a função . Para encontrar uma série de potências centrada em zero, precisamos reescrever o denominador de uma forma que possamos aplicar uma série conhecida.
Podemos fatorar o denominador da seguinte maneira:

Passo 3

Transformando para uma Forma que Facilite a Série Geométrica:
Queremos expressar de uma forma que se assemelhe à série geométrica. Para isso, fatoramos o denominador:
Aqui, usamos que , e ao elevar ao quadrado, obtemos o fator .

Passo 4

Aplicando a Série Geométrica ao Denominador:
Sabemos que a série geométrica para é:
Neste caso, . Substituindo:

Passo 5

Multiplicando pela Fator Fator Extra e pela Potência de :
Voltando à nossa expressão original:
Simplificando a potência de :
Podemos reescrever isso como:

Passo 6

Ajustando o Índice da Série para Simplificar:
Para simplificar, vamos mudar o índice da soma. Seja , então . Substituindo:
Podemos reescrever isso de volta com como :
Simplificando os coeficientes:

Passo 7

Expressando a Série de Forma Final:
Finalmente, ajustamos a série para que ela comece em . Observe que para , os termos seriam zero, então podemos escrever:

Resposta

A representação em série de potências centrada em zero para a função é:

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