Encontre uma representação em série de potências, centradas em zero, para as funções abaixo.
(e)
(e)
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conteúdo da Matéria:
A gente precisa encontrar uma representação em série de potências para a função
, centrada em zero. Isso significa expressar essa função como uma soma infinita de termos envolvendo potências de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries de potências e manipulação algébrica de séries.
Passo 2
Reescrevendo a Função para Facilitar a Série:
Primeiro, vamos observar a função
. Para encontrar uma série de potências centrada em zero, precisamos reescrever o denominador de uma forma que possamos aplicar uma série conhecida.
Podemos fatorar o denominador da seguinte maneira:
Passo 3
Transformando para uma Forma que Facilite a Série Geométrica:
Queremos expressar
de uma forma que se assemelhe à série geométrica. Para isso, fatoramos o denominador:
Aqui, usamos que
, e ao elevar ao quadrado, obtemos o fator
.
Passo 4
Aplicando a Série Geométrica ao Denominador:
Sabemos que a série geométrica para
é:
Neste caso,
. Substituindo:
Passo 5
Multiplicando pela Fator Fator Extra e pela Potência de
:
Voltando à nossa expressão original:
Simplificando a potência de
:
Podemos reescrever isso como:
Passo 6
Ajustando o Índice da Série para Simplificar:
Para simplificar, vamos mudar o índice da soma. Seja
, então
. Substituindo:
Podemos reescrever isso de volta com
como
:
Simplificando os coeficientes:
Passo 7
Expressando a Série de Forma Final:
Finalmente, ajustamos a série para que ela comece em
. Observe que para
, os termos seriam zero, então podemos escrever:
Resposta
A representação em série de potências centrada em zero para a função
é:
Exercícios relacionados
Utilize desenvolvimento em séries de Maclaurin para calcular os seguintes limites.
(f)
(f)
Desenvolver em série de Taylor e Maclaurin as funções:
(e)
(e)
Expresse as integrais indefinidas abaixo como uma série de potências, centradas em zero.
(b)
(b)
Determine o intervalo de convergência da série
.