(Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Sejam
. Mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, para qualquer conjunto de números reais
e
, a seguinte desigualdade vale:
Isso é conhecido como a Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores e produtos internos, mas vou explicar tudo passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto interno de dois vetores. Se temos dois vetores
e
, o produto interno é dado por:
E o comprimento de um vetor
é:
Passo 3
Agora, a Desigualdade de Cauchy-Schwarz nos diz que:
Ou seja:
Nosso objetivo é provar isso.
Passo 4
Para provar a desigualdade, vamos considerar que o polinômio quadrático formado pela combinação linear desses vetores deve ter sempre raízes reais ou coincide com zero. Vamos definir:
E calcular o quadrado do comprimento desse vetor:
Passo 5
Desenvolvendo o quadrado do comprimento:
Como esse valor é sempre maior ou igual a zero, temos:
Passo 6
Esse é um polinômio quadrático em
. Para que ele seja sempre não negativo, seu discriminante deve ser menor ou igual a zero. O discriminante
é:
Passo 7
Calculando o discriminante:
Dividindo ambos os lados por 4:
Passo 8
Rearranjando os termos, chegamos:
O que é exatamente a Desigualdade de Cauchy-Schwarz que queríamos provar!
Resposta
Assim, mostramos que:
Exercícios relacionados
Determine se a sequência
definida por
é limitada.
Seja
a função dada por
. Determine a expressão de
.
Prove que a sequência
onde
diverge para
.
Prove que, para todo
,