(Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Sejam . Mostre que:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, para qualquer conjunto de números reais e , a seguinte desigualdade vale:
Isso é conhecido como a Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores e produtos internos, mas vou explicar tudo passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto interno de dois vetores. Se temos dois vetores e , o produto interno é dado por:
E o comprimento de um vetor é:

Passo 3

Agora, a Desigualdade de Cauchy-Schwarz nos diz que:
Ou seja:
Nosso objetivo é provar isso.

Passo 4

Para provar a desigualdade, vamos considerar que o polinômio quadrático formado pela combinação linear desses vetores deve ter sempre raízes reais ou coincide com zero. Vamos definir:
E calcular o quadrado do comprimento desse vetor:

Passo 5

Desenvolvendo o quadrado do comprimento:
Como esse valor é sempre maior ou igual a zero, temos:

Passo 6

Esse é um polinômio quadrático em . Para que ele seja sempre não negativo, seu discriminante deve ser menor ou igual a zero. O discriminante é:

Passo 7

Calculando o discriminante:
Dividindo ambos os lados por 4:

Passo 8

Rearranjando os termos, chegamos:
O que é exatamente a Desigualdade de Cauchy-Schwarz que queríamos provar!

Resposta

Assim, mostramos que:

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Determine se a sequência definida por é limitada.
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