(Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Sejam a1, a2, cdots, an, b1, b2, cdots, bn in R. Mostre que:
(a1 b1+a2 b2+cdots+an bn)^2 <=(a1^2+a2^2+cdots+an^2)(b1^2+b2^2+cdots+bn^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, para qualquer conjunto de números reais (a1 b1+a2 b2+cdots+an bn)^2 <=(a1^2+a2^2+cdots+an^2)(b1^2+b2^2+cdots+bn^2) e , a seguinte desigualdade vale:
Isso é conhecido como a Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores e produtos internos, mas vou explicar tudo passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto interno de dois vetores. Se temos dois vetores a cdot b = a1 b1 + a2 b2 + cdots + an bn e |a| = raiza1^2 + a2^2 + cdots + an^2 , o produto interno é dado por:
E o comprimento de um vetor é:

Passo 3

Agora, a Desigualdade de Cauchy-Schwarz nos diz que:
(a cdot b)^2 <= |a|^2 cdot |b|^2
Ou seja:
(a1 b1+a2 b2+cdots+an bn)^2 <=(a1^2+a2^2+cdots+an^2)(b1^2+b2^2+cdots+bn^2)
Nosso objetivo é provar isso.

Passo 4

Para provar a desigualdade, vamos considerar que o polinômio quadrático formado pela combinação linear desses vetores deve ter sempre raízes reais ou coincide com zero. Vamos definir:
t a - b
E calcular o quadrado do comprimento desse vetor:
|t a - b|^2 >= 0

Passo 5

Desenvolvendo o quadrado do comprimento:
|t a - b|^2 = (t a - b) cdot (t a - b) = t^2 |a|^2 - 2t (a cdot b) + |b|^2
Como esse valor é sempre maior ou igual a zero, temos:
t^2 |a|^2 - 2t (a cdot b) + |b|^2 >= 0

Passo 6

Esse é um polinômio quadrático em De. Para que ele seja sempre não negativo, seu discriminante deve ser menor ou igual a zero. O discriminante é:

Passo 7

Calculando o discriminante:
De
Dividindo ambos os lados por 4:
(a cdot b)^2 - |a|^2 |b|^2 <= 0

Passo 8

Rearranjando os termos, chegamos:
(a cdot b)^2 <= |a|^2 |b|^2
O que é exatamente a Desigualdade de Cauchy-Schwarz que queríamos provar!

Resposta

Assim, mostramos que:
(a1 b1+a2 b2+cdots+an bn)^2 <=(a1^2+a2^2+cdots+an^2)(b1^2+b2^2+cdots+bn^2)

Exercícios relacionados