Determine se a sequência
definida por
é limitada.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para determinar se a sequência
, definida por
, é limitada. Aqui, estamos trabalhando com a matéria de Análise de Sequências, especificamente analisando se os termos da sequência ficam dentro de certos limites. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser limitada e como o comportamento da função logarítmica natural
se comporta quando
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma sequência limitada. Dizemos que uma sequência
é limitada se existe um número real
tal que
para todo
. Isso significa que os termos da sequência não ficam “infinitamente grandes” ou “infinitamente pequenos”.
Agora, vamos analisar a função
. A função logarítmica natural cresce à medida que
aumenta, mas faz isso de forma que, para valores muito grandes de
,
também fica grande. Vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Isso significa que, conforme
aumenta sem limites,
também aumenta sem limites. Portanto, não existe um número real
que limite todos os termos da sequência.
Resposta
A sequência
não é limitada.
Exercícios relacionados
Seja
a função dada por
. Determine a expressão de
.
Considere as funções
e
. Determine o domínio e a expressões para a função
.
(Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Sejam
. Mostre que:
Prove que a sequência
onde
diverge para
.