Determine se a sequência definida por é limitada.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para determinar se a sequência , definida por , é limitada. Aqui, estamos trabalhando com a matéria de Análise de Sequências, especificamente analisando se os termos da sequência ficam dentro de certos limites. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser limitada e como o comportamento da função logarítmica natural se comporta quando cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma sequência limitada. Dizemos que uma sequência é limitada se existe um número real tal que para todo . Isso significa que os termos da sequência não ficam “infinitamente grandes” ou “infinitamente pequenos”.
Agora, vamos analisar a função . A função logarítmica natural cresce à medida que aumenta, mas faz isso de forma que, para valores muito grandes de , também fica grande. Vamos calcular o limite de quando tende ao infinito:
Isso significa que, conforme aumenta sem limites, também aumenta sem limites. Portanto, não existe um número real que limite todos os termos da sequência.

Resposta

A sequência não é limitada.

Exercícios relacionados

Seja a função dada por . Determine a expressão de .
Considere as funções e . Determine o domínio e a expressões para a função .
(Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Sejam . Mostre que:
Prove que a sequência onde diverge para .