(Desigualdade Triangular) Mostre que se u, v in R^n, então
||u + v|| <= ||u|| + ||v||

Passo 1

Beleza, galera! O exercício pede pra gente mostrar que pra dois vetores e em , a norma da soma deles é menor ou igual à soma das normas individuais. Esse conceito faz parte do que chamamos de Desigualdade Triangular na álgebra linear. Para resolver, vamos precisar entender o que é norma de um vetor e usar um pouco da Desigualdade de Cauchy-Schwarz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a norma de um vetor. A norma de , escrita como , é basicamente o comprimento do vetor e é calculada assim:
O mesmo vale para .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a norma da soma dos vetores :
Queremos provar que isso é menor ou igual a .

Passo 4

Vamos expandir o quadrado dentro da raiz:
Isso vira:

Passo 5

A parte é o produto escalar de e , que a desigualdade de Cauchy-Schwarz nos diz que:
Então:

Passo 6

Substituindo isso na equação da norma da soma:
Que é igual a:

Passo 7

Agora, tiramos a raiz dos dois lados para voltar à norma:

Resposta

Então, mostramos que , confirmando a Desigualdade Triangular!

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