(Desigualdade Triangular) Mostre que se
, então
Passo 1
Beleza, galera! O exercício pede pra gente mostrar que pra dois vetores
e
em
, a norma da soma deles é menor ou igual à soma das normas individuais. Esse conceito faz parte do que chamamos de Desigualdade Triangular na álgebra linear. Para resolver, vamos precisar entender o que é norma de um vetor e usar um pouco da Desigualdade de Cauchy-Schwarz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a norma de um vetor. A norma de
, escrita como
, é basicamente o comprimento do vetor e é calculada assim:
O mesmo vale para
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a norma da soma dos vetores
:
Queremos provar que isso é menor ou igual a
.
Passo 4
Vamos expandir o quadrado dentro da raiz:
Isso vira:
Passo 5
A parte
é o produto escalar de
e
, que a desigualdade de Cauchy-Schwarz nos diz que:
Então:
Passo 6
Substituindo isso na equação da norma da soma:
Que é igual a:
Passo 7
Agora, tiramos a raiz dos dois lados para voltar à norma:
Resposta
Então, mostramos que
, confirmando a Desigualdade Triangular!
Exercícios relacionados
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
(m) .
(m)
Determine a norma do vetor dado.
Verifique quais dos conjuntos a seguir são abertos em
.
e
Verifique quais dos conjuntos a seguir são abertos em
.