Verifique quais dos conjuntos a seguir são abertos em R^2.
{(x, y) em R² : x² + y² < 1} - {(0, 0)}

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para verificarmos se o conjunto {(x, y) em R² : x² + y² < 1} - {(0, 0)} é aberto no espaço R^2. Para isso, vamos utilizar conceitos de topologia, mais especificamente sobre conjuntos abertos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto ser aberto em R^2. Um conjunto é aberto se, para cada ponto dentro dele, conseguimos encontrar um pequeno “círculo” ao redor desse ponto que também está completamente dentro do conjunto. Esse “círculo” é chamado de vizinhança do ponto.
Matematicamente, um conjunto U é aberto se, para todo ponto , existe um número tal que todos os pontos (x, y) que satisfazem também estão em U.

Passo 3

Agora, vamos analisar o conjunto dado: {(x, y) em R² : x² + y² < 1} - {(0, 0)}. Esse conjunto é basicamente o disco aberto de raio 1 centrado na origem, mas com o ponto (0,0) removido.
Sabemos que o disco aberto {(x, y) in R^2 : x^2 + y^2 < 1} �� um conjunto aberto. Mas e se removemos um ponto desse conjunto? Será que ele continua sendo aberto?

Passo 4

Vamos verificar se, para todo ponto (a, b) no conjunto , existe uma vizinhança que está completamente dentro desse conjunto.
Pegue qualquer ponto (a, b) que não seja o ponto (0,0) e que satisfaça . Queremos encontrar um tal que todo ponto dentro da distância epsilon de (a, b) também está no conjunto.
Como (a, b) não é (0,0), existe uma distância mínima entre (a, b) e (0,0). Podemos escolher epsilon menor que essa distância. Assim, a vizinhança ao redor de (a, b) não incluirá o ponto (0,0) e estará completamente dentro do disco aberto.

Passo 5

Portanto, para cada ponto no conjunto , conseguimos encontrar uma vizinhança que está totalmente dentro dele. Isso satisfaz a definição de conjunto aberto em R^2.

Resposta

Sim, o conjunto {(x, y) em R² : x² + y² < 1} - {(0, 0)} é aberto em R^2.

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