Verifique quais dos conjuntos a seguir são abertos em
.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para verificarmos se o conjunto
é aberto no espaço
. Para isso, vamos utilizar conceitos de topologia, mais especificamente sobre conjuntos abertos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto ser aberto em
. Um conjunto é aberto se, para cada ponto dentro dele, conseguimos encontrar um pequeno “círculo” ao redor desse ponto que também está completamente dentro do conjunto. Esse “círculo” é chamado de vizinhança do ponto.
Matematicamente, um conjunto
é aberto se, para todo ponto
, existe um número
tal que todos os pontos
que satisfazem
também estão em
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o conjunto dado:
. Esse conjunto é basicamente o disco aberto de raio 1 centrado na origem, mas com o ponto (0,0) removido.
Sabemos que o disco aberto
�� um conjunto aberto. Mas e se removemos um ponto desse conjunto? Será que ele continua sendo aberto?
Passo 4
Vamos verificar se, para todo ponto
no conjunto
, existe uma vizinhança que está completamente dentro desse conjunto.
Pegue qualquer ponto
que não seja o ponto (0,0) e que satisfaça
. Queremos encontrar um
tal que todo ponto dentro da distância
de
também está no conjunto.
Como
não é (0,0), existe uma distância mínima entre
e (0,0). Podemos escolher
menor que essa distância. Assim, a vizinhança ao redor de
não incluirá o ponto (0,0) e estará completamente dentro do disco aberto.
Passo 5
Portanto, para cada ponto no conjunto
, conseguimos encontrar uma vizinhança que está totalmente dentro dele. Isso satisfaz a definição de conjunto aberto em
.
Resposta
Sim, o conjunto
é aberto em
.
Exercícios relacionados
Verifique quais dos conjuntos a seguir são abertos em
.
e
(Desigualdade Triangular) Mostre que se
, então
Verifique quais dos conjuntos a seguir são abertos em
.
Determine os limites se existirem:
(h)
(h)