Verifique quais dos conjuntos a seguir são abertos em .

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para verificarmos se o conjunto é aberto no espaço . Para isso, vamos utilizar conceitos de topologia, mais especificamente sobre conjuntos abertos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto ser aberto em . Um conjunto é aberto se, para cada ponto dentro dele, conseguimos encontrar um pequeno “círculo” ao redor desse ponto que também está completamente dentro do conjunto. Esse “círculo” é chamado de vizinhança do ponto.
Matematicamente, um conjunto é aberto se, para todo ponto , existe um número tal que todos os pontos que satisfazem também estão em .

Passo 3

Agora, vamos analisar o conjunto dado: . Esse conjunto é basicamente o disco aberto de raio 1 centrado na origem, mas com o ponto (0,0) removido.
Sabemos que o disco aberto �� um conjunto aberto. Mas e se removemos um ponto desse conjunto? Será que ele continua sendo aberto?

Passo 4

Vamos verificar se, para todo ponto no conjunto , existe uma vizinhança que está completamente dentro desse conjunto.
Pegue qualquer ponto que não seja o ponto (0,0) e que satisfaça . Queremos encontrar um tal que todo ponto dentro da distância de também está no conjunto.
Como não é (0,0), existe uma distância mínima entre e (0,0). Podemos escolher menor que essa distância. Assim, a vizinhança ao redor de não incluirá o ponto (0,0) e estará completamente dentro do disco aberto.

Passo 5

Portanto, para cada ponto no conjunto , conseguimos encontrar uma vizinhança que está totalmente dentro dele. Isso satisfaz a definição de conjunto aberto em .

Resposta

Sim, o conjunto é aberto em .

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e
(Desigualdade Triangular) Mostre que se , então
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Determine os limites se existirem:
(h)