Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
(m) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer plotar o gráfico da curva usando o GeoGebra. Esse tipo de curva é chamado de cardioide, que faz parte das famílias das curvas conhecidas como limaçons. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre coordenadas polares e como usar o GeoGebra para desenhar essas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas polares. Diferente das coordenadas cartesianas (x e y), nas coordenadas polares usamos e (ou ) para determinar a posição de um ponto. Aqui, é a distância do ponto até a origem, e é o ângulo em relação ao eixo positivo das x.

Passo 3

A equação dada é . Isso significa que, para cada ângulo , o raio é igual a 1 mais o seno de . O seno de varia entre -1 e 1, então vai variar entre 0 e 2.

Passo 4

Agora, vamos entender por que essa equação representa uma cardioide. Uma cardioide é uma curva resultante do ponto em um círculo que rola sem deslizar ao longo de outra curva, geralmente outro círculo. No nosso caso, a equação gera uma forma semelhante a um coração, que é a característica principal de uma cardioide.

Passo 5

Para plotar isso no GeoGebra, siga estes passos:
  1. Abra o GeoGebra e selecione a opção de “Gráfico Polar”.
  2. Na barra de entrada, digite a equação . No GeoGebra, você pode escrever isso como r = 1 + sin(theta).
  3. Pressione Enter, e o GeoGebra vai desenhar automaticamente a curva para você.

Resposta

Pronto! Ao seguir esses passos, você verá no GeoGebra o gráfico da cardioide representada pela equação . Essa curva tem uma forma característica de coração, mostrando como o raio varia com o ângulo .

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Determine a norma do vetor dado.
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
(h) .
(Desigualdade Triangular) Mostre que se , então
Verifique quais dos conjuntos a seguir são abertos em .
e