Verifique quais dos conjuntos a seguir são abertos em .
e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificarmos quais dos conjuntos apresentados são abertos no espaço . Temos dois conjuntos para analisar:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser aberto em , além de analisar cada um desses conjuntos individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto aberto. Em termos simples, um conjunto é aberto se, para cada ponto dentro dele, conseguimos desenhar um pequeno “círculo” ao redor desse ponto que também está todo dentro do conjunto. Isso significa que o conjunto não inclui suas bordas.
Matematicamente, um conjunto é aberto se, para todo ponto , existe um raio tal que o círculo aberto está completamente contido em .

Passo 3

Vamos analisar o primeiro conjunto:
Esse conjunto representa todos os pontos no plano que estão dentro ou na borda de um círculo de raio 1 centrado na origem. A desigualdade inclui os pontos onde , ou seja, a borda do círculo.
Como mencionamos no Passo 2, para um conjunto ser aberto, ele não deve incluir suas bordas. Como esse conjunto inclui a borda (onde ), ele não é um conjunto aberto.

Passo 4

Agora, vamos analisar o segundo conjunto:
Esse conjunto representa todos os pontos no plano onde a soma das coordenadas e é maior que 3. Geometricamente, isso corresponde a uma região acima da reta .
Aqui, a desigualdade é estrita ( ), o que significa que a reta não está incluída no conjunto. Portanto, para qualquer ponto dentro desse conjunto, podemos sempre desenhar um pequeno círculo ao redor dele que também ficará completamente dentro do conjunto, já que não estamos incluindo a fronteira.
Assim, esse conjunto é um conjunto aberto.

Resposta

O primeiro conjunto não é aberto porque inclui a borda do círculo. Já o segundo conjunto é um conjunto aberto porque não inclui a reta e satisfaz a condição de abertura.

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(m) .
Verifique quais dos conjuntos a seguir são abertos em .
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