Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v.
(d) f(x, y) = e^(x^2 - y^2), (x0, y0) = (1, 1) e v = (3, 4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo multivariável, especialmente a derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, é importante entender o que é a derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função em uma direção específica a partir de um ponto dado. Para calculá-la, precisamos do gradiente da função e de um vetor unitário que indica a direção desejada.

Passo 3

Vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e .
Calculando as derivadas parciais:
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto :

Passo 5

Em seguida, precisamos encontrar o vetor unitário na direção de . Para isso, dividimos cada componente do vetor pelo seu módulo.
O módulo de é:
Portanto, o vetor unitário é:

Passo 6

Agora, vamos usar a fórmula da derivada direcional:
Onde “ ” representa o produto escalar. Substituindo os valores:

Resposta

A derivada direcional da função no ponto na direção do vetor é .

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