Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor .
(d) e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo multivariável, especialmente a derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, é importante entender o que é a derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função em uma direção específica a partir de um ponto dado. Para calculá-la, precisamos do gradiente da função e de um vetor unitário que indica a direção desejada.

Passo 3

Vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e .
Calculando as derivadas parciais:
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto :

Passo 5

Em seguida, precisamos encontrar o vetor unitário na direção de . Para isso, dividimos cada componente do vetor pelo seu módulo.
O módulo de é:
Portanto, o vetor unitário é:

Passo 6

Agora, vamos usar a fórmula da derivada direcional:
Onde “ ” representa o produto escalar. Substituindo os valores:

Resposta

A derivada direcional da função no ponto na direção do vetor é .

Exercícios relacionados

Quais das desigualdades a seguir são sempre verdadeiras? Quais nem sempre são verdadeiras? Justifique.
(a) .
(b) .
© .
(d) .
Encontre, em cada item abaixo, o comprimento e a direção (quando definida) de e .
(a) e
(b)
Sabendo que , calcule:
(a) .
(b) .
Multiplicando a edo não-exata pelo fator integrante, resolva a edo exata assim obtida.