Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.
(d)
e
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo multivariável, especialmente a derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, é importante entender o que é a derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função
em uma direção específica a partir de um ponto dado. Para calculá-la, precisamos do gradiente da função e de um vetor unitário que indica a direção desejada.
Passo 3
Vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Calculando as derivadas parciais:
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto
:
Passo 5
Em seguida, precisamos encontrar o vetor unitário na direção de
. Para isso, dividimos cada componente do vetor pelo seu módulo.
O módulo de
é:
Portanto, o vetor unitário
é:
Passo 6
Agora, vamos usar a fórmula da derivada direcional:
Onde “
” representa o produto escalar. Substituindo os valores:
Resposta
A derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
é
.
Exercícios relacionados
Quais das desigualdades a seguir são sempre verdadeiras? Quais nem sempre são verdadeiras? Justifique.
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(a)
(b)
©
(d)
Encontre, em cada item abaixo, o comprimento e a direção (quando definida) de
e
.
(a) e
(b)
(a)
(b)
Sabendo que
, calcule:
(a) .
(b) .
(a)
(b)
Multiplicando a edo não-exata pelo fator integrante, resolva a edo exata assim obtida.