Sabendo que ||u||=5, ||v||=2, <u, v>=-2, <u, w>=1 e <v, w>=7, calcule:
(a) < 4u, 2v + 3w >.
(b) < 5u - 4v , -u + w >.

Passo 1

Então, temos um exercício de produto interno (ou produto escalar) envolvendo três vetores: u, v e w. Sabemos as magnitudes desses vetores e os produtos internos entre cada par deles. Nosso objetivo é calcular os produtos internos das combinações lineares desses vetores conforme as alíneas (a) e (b) do exercício. Para resolver isso, vamos usar as propriedades do produto interno, como a distributividade e a linearidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o produto interno. O produto interno entre dois vetores, denotado por , é uma operação que resulta em um número real e é útil para calcular ângulos, projeções e outras propriedades geométricas dos vetores.

Passo 3

Vamos começar com a alínea (a): .
Para resolver isso, usamos a linearidade do produto interno em ambas as posições (primeiro e segundo vetor). Ou seja:

Passo 4

Aplicando essa propriedade à expressão da alínea (a):
Isso porque não há outros vetores além de u, v e w.

Passo 5

Agora, substituímos os valores conhecidos:
Então:

Passo 6

Passando para a alínea (b): .
Aplicamos novamente a linearidade do produto interno:

Passo 7

Sabemos que:
Substituindo esses valores:

Resposta

(a)
(b)

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