Sabendo que
, calcule:
(a)
.
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
Então, temos um exercício de produto interno (ou produto escalar) envolvendo três vetores:
,
e
. Sabemos as magnitudes desses vetores e os produtos internos entre cada par deles. Nosso objetivo é calcular os produtos internos das combinações lineares desses vetores conforme as alíneas (a) e (b) do exercício. Para resolver isso, vamos usar as propriedades do produto interno, como a distributividade e a linearidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o produto interno. O produto interno entre dois vetores, denotado por
, é uma operação que resulta em um número real e é útil para calcular ângulos, projeções e outras propriedades geométricas dos vetores.
Passo 3
Vamos começar com a alínea (a):
.
Para resolver isso, usamos a linearidade do produto interno em ambas as posições (primeiro e segundo vetor). Ou seja:
Passo 4
Aplicando essa propriedade à expressão da alínea (a):
Isso porque não há outros vetores além de
,
e
.
Passo 5
Agora, substituímos os valores conhecidos:
Então:
Passo 6
Passando para a alínea (b):
.
Aplicamos novamente a linearidade do produto interno:
Passo 7
Sabemos que:
Substituindo esses valores:
Resposta
(a)
(b)