Sabendo que , calcule:
(a) .
(b) .

Passo 1

Então, temos um exercício de produto interno (ou produto escalar) envolvendo três vetores: , e . Sabemos as magnitudes desses vetores e os produtos internos entre cada par deles. Nosso objetivo é calcular os produtos internos das combinações lineares desses vetores conforme as alíneas (a) e (b) do exercício. Para resolver isso, vamos usar as propriedades do produto interno, como a distributividade e a linearidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o produto interno. O produto interno entre dois vetores, denotado por , é uma operação que resulta em um número real e é útil para calcular ângulos, projeções e outras propriedades geométricas dos vetores.

Passo 3

Vamos começar com a alínea (a): .
Para resolver isso, usamos a linearidade do produto interno em ambas as posições (primeiro e segundo vetor). Ou seja:

Passo 4

Aplicando essa propriedade à expressão da alínea (a):
Isso porque não há outros vetores além de , e .

Passo 5

Agora, substituímos os valores conhecidos:
Então:

Passo 6

Passando para a alínea (b): .
Aplicamos novamente a linearidade do produto interno:

Passo 7

Sabemos que:
Substituindo esses valores:

Resposta

(a)
(b)

Exercícios relacionados

Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor .
(d) e .
Quais das desigualdades a seguir são sempre verdadeiras? Quais nem sempre são verdadeiras? Justifique.
(a) .
(b) .
© .
(d) .
Multiplicando a edo não-exata pelo fator integrante, resolva a edo exata assim obtida.
Multiplicando a edo não-exata pelo fator integrante, resolva a edo exata assim obtida.