Determine se cada uma das funções abaixo são bijetoras de
para
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função
é bijetora quando mapeia os números reais
para
. Bijetora significa que a função precisa ser injetora (cada valor de entrada tem um valor de saída único) e sobrejetora (todo valor de saída possível é atingido pela função). Vamos precisar usar conceitos de funções e suas propriedades para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é injetora. Uma função é injetora se não houver dois valores diferentes de
que resultem no mesmo
. Para funções polinomiais como essa, podemos analisar a derivada para ver se a função é sempre crescente ou sempre decrescente, o que garante a injetividade.
Passo 3
Calculando a derivada de
:
Como
é sempre não negativo e multiplicado por 5, temos que
para todo
em
. Isso significa que a função é sempre crescente.
Passo 4
Como a função é sempre crescente e nunca diminui, ela é injetora. Agora, vamos verificar se é sobrejetora. Para ser sobrejetora, todo número real
deve ter pelo menos um número real
tal que
.
Passo 5
Analisando o comportamento de
:
- Quando
tende a , tende a . - Quando
tende a , tende a .
Além disso, como a função é contínua e sempre crescente, para qualquer valor real, existe exatamente um que satisfaz . Portanto, a função cobre todo o conjunto dos números reais.
Resposta
A função
é bijetora de
para
.