Determine se cada uma das funções abaixo são bijetoras de R para R :
d f(x) = x^5 + 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função é bijetora quando mapeia os números reais para . Bijetora significa que a função precisa ser injetora (cada valor de entrada tem um valor de saída único) e sobrejetora (todo valor de saída possível é atingido pela função). Vamos precisar usar conceitos de funções e suas propriedades para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é injetora. Uma função é injetora se não houver dois valores diferentes de que resultem no mesmo . Para funções polinomiais como essa, podemos analisar a derivada para ver se a função é sempre crescente ou sempre decrescente, o que garante a injetividade.

Passo 3

Calculando a derivada de :
Como é sempre não negativo e multiplicado por 5, temos que para todo em . Isso significa que a função é sempre crescente.

Passo 4

Como a função é sempre crescente e nunca diminui, ela é injetora. Agora, vamos verificar se é sobrejetora. Para ser sobrejetora, todo número real deve ter pelo menos um número real tal que .

Passo 5

Analisando o comportamento de :
  • Quando tende a , tende a .
  • Quando tende a , tende a .
    Além disso, como a função é contínua e sempre crescente, para qualquer valor real , existe exatamente um que satisfaz . Portanto, a função cobre todo o conjunto dos números reais.

Resposta

A função é bijetora de para .

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