Quais destas relações em
são relações de equivalência?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão! A pergunta é sobre relações de equivalência no conjunto
. Para descobrir se uma relação é de equivalência, a gente precisa verificar se ela atende três propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva. Vamos analisar a relação (a) que é
.
Passo 2
Primeiro, vamos ver a propriedade reflexiva. Essa propriedade diz que todo elemento do conjunto deve estar relacionado consigo mesmo. No nosso caso, temos os pares
,
,
e
. Cada número está relacionado com ele mesmo, então a relação é reflexiva.
Passo 3
Agora, vamos verificar a propriedade simétrica. Uma relação é simétrica se, sempre que
está na relação, então
também está. Olhando para a relação (a), todos os pares são do tipo
, ou seja, o primeiro e o segundo elemento são iguais. Portanto, se
está na relação,
também está, o que satisfaz a simetria.
Passo 4
Por último, vamos conferir a propriedade transitiva. Essa propriedade diz que se
e
estão na relação, então
também deve estar. No nosso caso, como todos os pares são da forma
, se
e
estão na relação, então
está, o que mantém a transitividade.
Resposta
Sim, a relação (a) é uma relação de equivalência.