Quais destas relações em {0, 1, 2, 3} são relações de equivalência?
a {(0,0), (1,1), (2,2), (3,3)}

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão! A pergunta é sobre relações de equivalência no conjunto {0, 1, 2, 3}. Para descobrir se uma relação é de equivalência, a gente precisa verificar se ela atende três propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva. Vamos analisar a relação (a) que é .

Passo 2

Primeiro, vamos ver a propriedade reflexiva. Essa propriedade diz que todo elemento do conjunto deve estar relacionado consigo mesmo. No nosso caso, temos os pares (0,0), 1,1, (2, 2) e 3,3. Cada número está relacionado com ele mesmo, então a relação é reflexiva.

Passo 3

Agora, vamos verificar a propriedade simétrica. Uma relação é simétrica se, sempre que está na relação, então também está. Olhando para a relação (a), todos os pares são do tipo , ou seja, o primeiro e o segundo elemento são iguais. Portanto, se está na relação, também está, o que satisfaz a simetria.

Passo 4

Por último, vamos conferir a propriedade transitiva. Essa propriedade diz que se e estão na relação, então também deve estar. No nosso caso, como todos os pares são da forma , se e estão na relação, então está, o que mantém a transitividade.

Resposta

Sim, a relação (a) é uma relação de equivalência.

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