Quais destas relações em são relações de equivalência?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se a relação dada em , que é , é uma relação de equivalência. Para isso, precisamos revisar o que é uma relação de equivalência e verificar se essa relação satisfaz os três critérios necessários: reflexividade, simetria e transitividade.

Passo 2

Reflexividade: Uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. Ou seja, para todo em , o par deve estar na relação.
Vamos verificar:
  • está na relação? Sim.
  • está na relação? Sim.
  • está na relação? Sim.
  • está na relação? Sim.
Então, a relação é reflexiva porque todos os elementos se relacionam consigo mesmos.

Passo 3

Simetria: Uma relação é simétrica se, sempre que está na relação, então também está.
Vamos verificar os pares:
  • está na relação? Sim. Então, deve estar também? Sim, está na relação.
  • está na relação? Sim. Então, deve estar também? Sim, está.
  • está na relação? Sim. Então, deve estar também? Sim, está.
  • está na relação? Sim. Então, deve estar também? Sim, está.
Todos os pares que têm contrapartida estão presentes na relação. Portanto, a relação é simétrica.

Passo 4

Transitividade: Uma relação é transitiva se, sempre que e estão na relação, então também está.
Vamos verificar possíveis combinações:
  1. e devem implicar : está na relação? Sim.
  2. e devem implicar : está na relação? Não está.
  3. e devem implicar : está na relação? Não está.
  4. e devem implicar : está na relação? Sim.
  5. e devem implicar : está na relação? Sim.
Encontramos que nem todas as implicações de transitividade são satisfeitas, como nos casos 2 e 3. Portanto, a relação não é transitiva.

Resposta

A relação dada não é uma relação de equivalência, pois não satisfaz a propriedade de transitividade.

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