Quais destas relações em
são relações de equivalência?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se a relação dada em
, que é
, é uma relação de equivalência. Para isso, precisamos revisar o que é uma relação de equivalência e verificar se essa relação satisfaz os três critérios necessários: reflexividade, simetria e transitividade.
Passo 2
Reflexividade: Uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. Ou seja, para todo
em
, o par
deve estar na relação.
Vamos verificar:
-
está na relação? Sim. -
está na relação? Sim. -
está na relação? Sim. -
está na relação? Sim.
Então, a relação é reflexiva porque todos os elementos se relacionam consigo mesmos.
Passo 3
Simetria: Uma relação é simétrica se, sempre que
está na relação, então
também está.
Vamos verificar os pares:
-
está na relação? Sim. Então, deve estar também? Sim, está na relação. -
está na relação? Sim. Então, deve estar também? Sim, está. -
está na relação? Sim. Então, deve estar também? Sim, está. -
está na relação? Sim. Então, deve estar também? Sim, está.
Todos os pares que têm contrapartida estão presentes na relação. Portanto, a relação é simétrica.
Passo 4
Transitividade: Uma relação é transitiva se, sempre que
e
estão na relação, então
também está.
Vamos verificar possíveis combinações:
-
e devem implicar : está na relação? Sim. -
e devem implicar : está na relação? Não está. -
e devem implicar : está na relação? Não está. -
e devem implicar : está na relação? Sim. -
e devem implicar : está na relação? Sim.
Encontramos que nem todas as implicações de transitividade são satisfeitas, como nos casos 2 e 3. Portanto, a relação não é transitiva.
Resposta
A relação dada não é uma relação de equivalência, pois não satisfaz a propriedade de transitividade.
Exercícios relacionados
Quais destas relações em
são relações de equivalência?
Encontre
e
em que
e
são funções de
para
.
Determine se
é uma função de um conjunto de todas as cadeias de bits para o cojunjunto dos números inteiros se:
é a posição de um bit 0 em
Determine se cada uma das funções abaixo, do conjunto
para ele mesmo é injetora: