Quais destas relações em {0, 1, 2, 3} são relações de equivalência?
d {(0,0),(1,1),(1,3),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se a relação dada em {0, 1, 2, 3}, que é d {(0,0),(1,1),(1,3),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}, é uma relação de equivalência. Para isso, precisamos revisar o que é uma relação de equivalência e verificar se essa relação satisfaz os três critérios necessários: reflexividade, simetria e transitividade.

Passo 2

Reflexividade: Uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. Ou seja, para todo a em {0, 1, 2, 3}, o par deve estar na relação.
Vamos verificar:
  • (0,0) está na relação? Sim.
  • 1,1 está na relação? Sim.
  • (2, 2) está na relação? Sim.
  • 3,3 está na relação? Sim.
Então, a relação é reflexiva porque todos os elementos se relacionam consigo mesmos.

Passo 3

Simetria: Uma relação é simétrica se, sempre que está na relação, então também está.
Vamos verificar os pares:
  • 1,3 está na relação? Sim. Então, 3,1 deve estar também? Sim, está na relação.
  • (2,3) está na relação? Sim. Então, (3,2) deve estar também? Sim, está.
  • 3,1 está na relação? Sim. Então, 1,3 deve estar também? Sim, está.
  • (3,2) está na relação? Sim. Então, (2,3) deve estar também? Sim, está.
Todos os pares que têm contrapartida estão presentes na relação. Portanto, a relação é simétrica.

Passo 4

Transitividade: Uma relação é transitiva se, sempre que e estão na relação, então também está.
Vamos verificar possíveis combinações:
  1. 1,3 e 3,1 devem implicar 1,1: 1,1 está na relação? Sim.
  2. 1,3 e (3,2) devem implicar 1,2: 1,2 está na relação? Não está.
  3. (2,3) e 3,1 devem implicar (2,1): (2,1) está na relação? Não está.
  4. 3,1 e 1,3 devem implicar 3,3: 3,3 está na relação? Sim.
  5. (3,2) e (2,3) devem implicar 3,3: 3,3 está na relação? Sim.
Encontramos que nem todas as implicações de transitividade são satisfeitas, como nos casos 2 e 3. Portanto, a relação não é transitiva.

Resposta

A relação dada não é uma relação de equivalência, pois não satisfaz a propriedade de transitividade.

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