det[cccc1 & 2 & 3 & 4 -2 & 1 & -4 & 3 3 & -4 & -1 & 2 4 & 3 & -2 & -1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver o determinante dessa matriz 4x4 que você mandou. O determinante é um número especial que podemos calcular a partir de uma matriz quadrada e que tem várias aplicações na matemática, como encontrar inversas de matrizes ou resolver sistemas lineares. Para calcular o determinante de uma matriz 4x4, a gente vai usar a expansão por cofatores, que é um método passo a passo bem útil.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a expansão por cofatores envolve escolher uma linha ou coluna da matriz e calcular pequenos determinantes chamados de cofatores. Esses cofatores vão ser multiplicados pelos elementos correspondentes da linha ou coluna escolhida, e depois somados ou subtraídos de acordo com uma regra de sinais.

Passo 3

Vamos escolher a primeira linha da matriz para facilitar os cálculos. A matriz que estamos trabalhando é:
1 & 2 & 3 & 4 -2 & 1 & -4 & 3 3 & -4 & -1 & 2 4 & 3 & -2 & -1

Passo 4

Agora, vamos calcular os cofatores de cada elemento da primeira linha. O cofator de um elemento é dado por Cij = (-1)^i+j cdot Mij, onde Mij é o determinante da matriz que sobra quando retiramos a i-ésima linha e a j-ésima coluna.

Passo 5

Vamos calcular cada cofator:
  • Para o elemento 1 (posição (1,1)):
    • Remove a primeira linha e a primeira coluna: 1 & -4 & 3 -4 & -1 & 2 3 & -2 & -1
    • Calcula o determinante dessa matriz 3x3: 1 cdot (-1 cdot -1 - 2 cdot -2) - (-4) cdot (-4 cdot -1 - 2 cdot 3) + 3 cdot (-4 cdot -2 - (-1) cdot 3) 1 cdot (1 + 4) - (-4) cdot (4 - 6) + 3 cdot (8 + 3) 5 - (-4) cdot (-2) + 3 cdot 11 = 5 - 8 + 33 = 30
    • O cofator é C11 = (-1)^1+1 cdot 30 = 1 cdot 30 = 30
  • Para o elemento 2 (posição (1,2)):
    • Remove a primeira linha e a segunda coluna: -2 & -4 & 3 3 & -1 & 2 4 & -2 & -1
    • Calcula o determinante dessa matriz 3x3: -2 cdot (-1 cdot -1 - 2 cdot -2) - (-4) cdot (3 cdot -1 - 2 cdot 4) + 3 cdot (3 cdot -2 - (-1) cdot 4) -2 cdot (1 + 4) - (-4) cdot (-3 - 8) + 3 cdot (-6 + 4) -2 cdot 5 - (-4) cdot (-11) + 3 cdot (-2) = -10 - 44 - 6 = -60
    • O cofator é C12 = (-1)^1+2 cdot (-60) = -1 cdot (-60) = 60
  • Para o elemento 3 (posição (1,3)):
    • Remove a primeira linha e a terceira coluna: -2 & 1 & 3 3 & -4 & 2 4 & 3 & -1
    • Calcula o determinante dessa matriz 3x3: -2 cdot (-4 cdot -1 - 2 cdot 3) - 1 cdot (3 cdot -1 - 2 cdot 4) + 3 cdot (3 cdot 3 - (-4) cdot 4) -2 cdot (4 - 6) - 1 cdot (-3 - 8) + 3 cdot (9 + 16) -2 cdot (-2) - 1 cdot (-11) + 3 cdot 25 = 4 + 11 + 75 = 90
    • O cofator é C13 = (-1)^1+3 cdot 90 = 1 cdot 90 = 90
  • Para o elemento 4 (posição (1,4)):
    • Remove a primeira linha e a quarta coluna: -2 & 1 & -4 3 & -4 & -1 4 & 3 & -2
    • Calcula o determinante dessa matriz 3x3: -2 cdot (-4 cdot -2 - (-1) cdot 3) - 1 cdot (3 cdot -2 - (-1) cdot 4) + (-4) cdot (3 cdot 3 - (-4) cdot 4) -2 cdot (8 - (-3)) - 1 cdot (-6 + 4) + (-4) cdot (9 + 16) -2 cdot 11 - 1 cdot (-2) + (-4) cdot 25 = -22 + 2 - 100 = -120
    • O cofator é C14 = (-1)^1+4 cdot (-120) = -1 cdot (-120) = 120

Passo 6

Agora, vamos multiplicar cada elemento da primeira linha pelo seu cofator correspondente e somar os resultados:
det = 1 cdot 30 + 2 cdot 60 + 3 cdot 90 + 4 cdot 120
det = 30 + 120 + 270 + 480 = 900

Resposta

O determinante da matriz é 900.

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