Seja dada por .
Sejam e bases de e , respectivamente. Determine a matriz mudança de base em , da base para a base canônica. Determine a matriz mudança de base em , da base canônica para a base .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de Álgebra Linear! A questão pede para encontrar as matrizes de mudança de base para dois casos específicos envolvendo espaços de polinômios. Vamos precisar entender como converter entre diferentes bases usando matrizes de mudança de base. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos focar na primeira parte do exercício: determinar a matriz de mudança de base em , da base para a base canônica.
A base canônica para é . A base dada é .
Para encontrar a matriz de mudança de base, precisamos expressar cada vetor da base em termos da base canônica.
Vamos fazer isso:
Expressar na base canônica:
Coeficientes:
Expressar na base canônica:
Coeficientes:
Expressar na base canônica:
Coeficientes:
Expressar na base canônica:
Coeficientes:
Passo 3
Agora, organizamos esses coeficientes em colunas para formar a matriz de mudança de base de para a base canônica. Cada coluna corresponde a um vetor da base expresso na base canônica.
Então, a matriz é:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda parte do exercício: determinar a matriz de mudança de base em , da base canônica para a base .
A base canônica para é . A base dada é .
Para encontrar a matriz de mudança de base, precisamos expressar cada vetor da base canônica em termos da base .
Vamos fazer isso:
Resolver para em termos de :
Comparando coeficientes:
Resolvendo:
Resolver para em termos de :
Comparando coeficientes:
Resolvendo:
Resolver para em termos de :
Comparando coeficientes:
Resolvendo:
Passo 5
Agora, organizamos os coeficientes encontrados em colunas para formar a matriz de mudança de base da base canônica para . Cada coluna corresponde a um vetor da base canônica expresso na base .
Então, a matriz ô é:
ô
Resposta
A matriz de mudança de base em da base para a base canônica é:
E a matriz de mudança de base em da base canônica para a base é: