Seja T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(2 x+3 y-5 z, x-y-z, 2 x+y+z). Sejam beta1 a base canônica de R^3 e beta2=(1,2,3),(3,2,1),(1,1,0) outra base de R^3.
Determine a matriz [T]beta1^beta1.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a matriz da transformação linear na base canônica de . Aqui, vamos usar conceitos de matrizes de transformações lineares e base canônica para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a base canônica de é formada pelos vetores , e . Para encontrar a matriz , vamos aplicar a transformação em cada um desses vetores.

Passo 3

Vamos calcular cada imagem da base canônica sob a transformação T(1, 0, 0) = (2(1) + 3(0) - 5(0), 1 - 0 - 0, 2(1) + 0 + 0) = (2, 1, 2) :
  1. Aplicando T(0, 1, 0) = (2(0) + 3(1) - 5(0), 0 - 1 - 0, 2(0) + 1 + 0) = (3, -1, 1) em T(0, 0, 1) = (2(0) + 3(0) - 5(1), 0 - 0 - 1, 2(0) + 0 + 1) = (-5, -1, 1) :
  2. Aplicando em :
  3. Aplicando em :

Passo 4

Agora, colocamos os vetores resultantes como colunas na matriz [T]beta1^beta1 = 2 & 3 & -5 1 & -1 & -1 2 & 1 & 1 :

Resposta

A matriz da transformação linear [T]beta1^beta1 = 2 & 3 & -5 1 & -1 & -1 2 & 1 & 1 na base canônica é:

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