Seja T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(2 x+3 y-5 z, x-y-z, 2 x+y+z). Sejam beta1 a base canônica de R^3 e beta2=(1,2,3),(3,2,1),(1,1,0) outra base de R^3.
Determine a matriz mudança de base de beta2 para beta1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a matriz de mudança de base de uma base chamada beta2 para a base canônica beta1 no espaço R^3. Aqui, mudança de base é um conceito da álgebra linear que ajuda a transformar coordenadas de um sistema de referência para outro. Para isso, vamos precisar conhecer os vetores que formam a base beta2 e saber como representá-los na base beta1.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a base canônica beta1 em R^3 é formada pelos vetores (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). Esses vetores são a referência padrão para qualquer vetor em R^3.
Agora, a base beta2 é dada por três vetores:
beta2 = , (1,2,3),; (3,2,1),; (1,1,0) ,
Como queremos a matriz de mudança de base de beta2 para beta1, precisamos escrever cada vetor de beta2 em termos da base canônica beta1. Mas como beta1 já é a base padrão, os vetores de beta2 já estão expressos em termos dela. Ou seja, as coordenadas dos vetores de beta2 na base beta1 são exatamente os próprios vetores.

Passo 3

A matriz de mudança de base de beta2 para beta1 é construída colocando os vetores de beta2 como colunas da matriz, na ordem em que aparecem na base beta2. Então, vamos montar essa matriz:
Pbeta2 to beta1 = 1 & 3 & 1 2 & 2 & 1 3 & 1 & 0
Cada coluna representa um vetor de beta2 expressado na base beta1.

Resposta

A matriz de mudança de base de beta2 para beta1 é
Pbeta2 to beta1 = 1 & 3 & 1 2 & 2 & 1 3 & 1 & 0

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