Se um detector de densidade estiver no ponto
e se mover para a direita, a densidade aumentará ou diminuirá? E se ele se mover para cima (em relação à orientação do plano
)? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um detector de densidade no ponto
. A pergunta é: se ele se mover para a direita, a densidade vai aumentar ou diminuir? E se ele se mover para cima? Pra responder isso, vamos precisar entender como a densidade muda no espaço, ou seja, como ela varia conforme a posição no plano
. Vamos precisar usar um pouco de cálculo vetorial, mas vou explicar tudinho passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a variação da densidade. A densidade pode depender de onde estamos no espaço. Por exemplo, pode ser maior perto de um prédio e menor no campo. Para entender como a densidade muda, usamos algo chamado gradiente da densidade. O gradiente é como uma seta que indica a direção em que a densidade aumenta mais rapidamente.
A fórmula do gradiente é:
Aqui,
mostra como a densidade muda quando você se move na direção do eixo
(para a direita ou para a esquerda), e
mostra como muda na direção do eixo
(para cima ou para baixo).
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso ao nosso problema. No ponto
, o gradiente da densidade nos diz para onde a densidade está aumentando. Se queremos saber o que acontece quando o detector se move para a direita ou para cima, precisamos olhar para os componentes do gradiente:
-
Movendo para a direita: Isso significa que estamos nos movendo na direção positiva de
. Se for positivo, a densidade aumenta ao ir para a direita. Se for negativo, a densidade diminui. -
Movendo para cima: Isso significa que estamos nos movendo na direção positiva de
. Se for positivo, a densidade aumenta ao ir para cima. Se for negativo, a densidade diminui.
Passo 4
Sem uma função específica para a densidade, não podemos calcular valores exatos, mas podemos fazer algumas observações gerais:
-
Se
aponta para a direita ( ), então mover para a direita aumenta a densidade. Se aponta para a esquerda ( ), mover para a direita diminui a densidade. -
Se
aponta para cima ( ), então mover para cima aumenta a densidade. Se aponta para baixo ( ), mover para cima diminui a densidade.
Passo 5
Então, resumindo:
-
Mover para a direita: A densidade vai aumentar se
e diminuir se . -
Mover para cima: A densidade vai aumentar se
e diminuir se .
Sem mais informações sobre como a densidade varia exatamente no espaço, essa é a melhor resposta que podemos dar com as informações disponíveis.
Resposta
Depende dos sinais das derivadas parciais da densidade no ponto
. Se
, mover para a direita aumenta a densidade; se
, diminui. Similarmente, se
, mover para cima aumenta a densidade; se
, diminui. Assim, sem valores específicos, a densidade aumenta ou diminui conforme o sinal das derivadas na direção do movimento.
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Encontre a integral indefinida
para cada função abaixo. Se necessário, use a técnica da substituição,
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