Se um detector de densidade estiver no ponto (2,1) e se mover para a direita, a densidade aumentará ou diminuirá? E se ele se mover para cima (em relação à orientação do plano x y )? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um detector de densidade no ponto . A pergunta é: se ele se mover para a direita, a densidade vai aumentar ou diminuir? E se ele se mover para cima? Pra responder isso, vamos precisar entender como a densidade muda no espaço, ou seja, como ela varia conforme a posição no plano . Vamos precisar usar um pouco de cálculo vetorial, mas vou explicar tudinho passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a variação da densidade. A densidade pode depender de onde estamos no espaço. Por exemplo, pode ser maior perto de um prédio e menor no campo. Para entender como a densidade muda, usamos algo chamado gradiente da densidade. O gradiente é como uma seta que indica a direção em que a densidade aumenta mais rapidamente.
A fórmula do gradiente é:
Aqui, mostra como a densidade muda quando você se move na direção do eixo (para a direita ou para a esquerda), e mostra como muda na direção do eixo (para cima ou para baixo).

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao nosso problema. No ponto , o gradiente da densidade nos diz para onde a densidade está aumentando. Se queremos saber o que acontece quando o detector se move para a direita ou para cima, precisamos olhar para os componentes do gradiente:
  • Movendo para a direita: Isso significa que estamos nos movendo na direção positiva de . Se for positivo, a densidade aumenta ao ir para a direita. Se for negativo, a densidade diminui.
  • Movendo para cima: Isso significa que estamos nos movendo na direção positiva de . Se for positivo, a densidade aumenta ao ir para cima. Se for negativo, a densidade diminui.

Passo 4

Sem uma função específica para a densidade, não podemos calcular valores exatos, mas podemos fazer algumas observações gerais:
  • Se aponta para a direita ( ), então mover para a direita aumenta a densidade. Se aponta para a esquerda ( ), mover para a direita diminui a densidade.
  • Se aponta para cima ( ), então mover para cima aumenta a densidade. Se aponta para baixo ( ), mover para cima diminui a densidade.

Passo 5

Então, resumindo:
  • Mover para a direita: A densidade vai aumentar se e diminuir se .
  • Mover para cima: A densidade vai aumentar se e diminuir se .
Sem mais informações sobre como a densidade varia exatamente no espaço, essa é a melhor resposta que podemos dar com as informações disponíveis.

Resposta

Depende dos sinais das derivadas parciais da densidade no ponto . Se , mover para a direita aumenta a densidade; se , diminui. Similarmente, se , mover para cima aumenta a densidade; se , diminui. Assim, sem valores específicos, a densidade aumenta ou diminui conforme o sinal das derivadas na direção do movimento.

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