Resolva as integrais:
integral 6 x+7x^2+4 x+4 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com frações racionais. Para resolver essa integral, vamos precisar simplificar a expressão e usar técnicas de integração adequadas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 . Podemos completar o quadrado para simplificar a expressão:
integral 6x + 7(x + 2)^2 , dx
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir:
u = x + 2
Dessa forma, a derivada de du = dx em relação a x = u - 2 é:
E podemos expressar em termos de :

Passo 4

Substituindo integral 6(u - 2) + 7u^2 , du = integral 6u - 12 + 7u^2 , du = integral 6u - 5u^2 , du e na integral, temos:

Passo 5

Vamos dividir a fração em duas partes para facilitar a integração:
6u - 5u^2 = 6uu^2 - 5u^2 = 6u - 5u^-2
Assim, a integral fica:
integral ( 6u - 5u^-2 ) , du

Passo 6

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral 6u , du = 6 ln|u|
integral -5u^-2 , du = -5 ( -u^-1 ) = 5u
Então, a integral completa é:
6 ln|u| + 5u + C
onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, voltamos à variável original substituindo 6 ln|x + 2| + 5x + 2 + C :

Resposta

A integral vale .

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