Resolva as integrais:
integral x^2+1x^4-x^2 d x

Passo 1

Beleza! O que a gente tem aqui é uma integral: . Vamos usar conhecimentos de cálculo, especialmente de frações parciais e decomposição de expressões algébricas. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e quebrar a fração em partes mais simples que a gente consegue integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador x^4 - x^2 = x^2(x - 1)(x + 1) . Podemos fatorar isso como . E olha só, também pode ser fatorado mais, já que é uma diferença de quadrados: . Então, o denominador todo fica:

Passo 3

Agora, nossa fração fica assim:
x^2 + 1x^2(x - 1)(x + 1)
A gente vai usar a técnica de frações parciais para separar essa expressão em partes mais simples. Vamos supor que ela possa ser escrita como:
x^2 + 1x^2(x - 1)(x + 1) = Ax + Bx^2 + Cx - 1 + Dx + 1

Passo 4

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por x^2 + 1 = A cdot x (x - 1)(x + 1) + B cdot (x - 1)(x + 1) + C cdot x^2(x + 1) + D cdot x^2(x - 1) para eliminar os denominadores:
Para achar os valores de , , e , vamos escolher valores específicos de que simplificam a equação.

Passo 5

Vamos começar escolhendo 0^2 + 1 = A cdot 0 cdot (-1)(1) + B cdot (-1)(1) + C cdot 0^2(1) + D cdot 0^2(-1) :
1 = -B
B = -1
1^2 + 1 = A cdot 1 cdot 0 cdot 2 + B cdot 0 cdot 2 + C cdot 1^2 cdot 2 + D cdot 1^2 cdot 0
Agora, vamos escolher 2 = 2C :
C = 1
(-1)^2 + 1 = A cdot (-1) cdot (-2) cdot 0 + B cdot (-2) cdot 0 + C cdot (-1)^2 cdot 0 + D cdot (-1)^2 cdot (-2)
2 = -2D
E agora, D = -1 :

Passo 6

Agora que temos 2^2 + 1 = A cdot 2 cdot (2 - 1)(2 + 1) + (-1) cdot (2 - 1)(2 + 1) + 1 cdot 2^2(2 + 1) + (-1) cdot 2^2(2 - 1) , 5 = A cdot 2 cdot 1 cdot 3 + (-1) cdot 1 cdot 3 + 1 cdot 4 cdot 3 + (-1) cdot 4 cdot 1 e 5 = 6A - 3 + 12 - 4 , vamos substituir esses valores para encontrar 5 = 6A + 5 . Podemos escolher outro valor de 6A = 0 , por exemplo, A = 0 :

Passo 7

Então, agora sabemos que:
A = 0, B = -1, C = 1, D = -1
Então a decomposição em frações parciais fica:
x^2 + 1x^2(x - 1)(x + 1) = 0x + -1x^2 + 1x - 1 + -1x + 1
= -1x^2 + 1x - 1 - 1x + 1

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral x^2 + 1x^4 - x^2 , dx = integral ( -1x^2 + 1x - 1 - 1x + 1 ) dx
Vamos integrar cada parcela:

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
integral x^2+1x^4-x^2 , dx = 1x + ln|x - 1| - ln|x + 1| + C
Onde é a constante de integração.

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