Resolva as integrais:
Passo 1
Beleza! O que a gente tem aqui é uma integral:
. Vamos usar conhecimentos de cálculo, especialmente de frações parciais e decomposição de expressões algébricas. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e quebrar a fração em partes mais simples que a gente consegue integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador
. Podemos fatorar isso como
. E olha só,
também pode ser fatorado mais, já que é uma diferença de quadrados:
. Então, o denominador todo fica:
Passo 3
Agora, nossa fração fica assim:
A gente vai usar a técnica de frações parciais para separar essa expressão em partes mais simples. Vamos supor que ela possa ser escrita como:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Para achar os valores de
,
,
e
, vamos escolher valores específicos de
que simplificam a equação.
Passo 5
Vamos começar escolhendo
:
Agora, vamos escolher
:
E agora,
:
Passo 6
Agora que temos
,
e
, vamos substituir esses valores para encontrar
. Podemos escolher outro valor de
, por exemplo,
:
Passo 7
Então, agora sabemos que:
Então a decomposição em frações parciais fica:
Passo 8
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Vamos integrar cada parcela:
Resposta
Juntando tudo, a integral é:
Onde
é a constante de integração.
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