Resolva as integrais:
integral 6 x^2+6(x-1)(x+2)(x+3) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral 6 x^2+6(x-1)(x+2)(x+3) , dx. Esse problema está relacionado ao estudo de frações parciais, que nos ajuda a decompor expressões racionais complexas em partes mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, observamos que o grau do numerador ( 6x^2 + 6) é igual ao grau do denominador ( (x-1)(x+2)(x+3)). Para facilitar, vamos dividir o numerador pelo denominador, mas nesse caso, como os graus são iguais, podemos seguir diretamente para a decomposição em frações parciais.

Passo 3

Vamos expressar a fração 6 x^2+6(x-1)(x+2)(x+3) como a soma de frações simples. Assumimos que:
6x^2 + 6(x-1)(x+2)(x+3) = Ax-1 + Bx+2 + Cx+3
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos determinar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum (x-1)(x+2)(x+3) para eliminar as frações:
6x^2 + 6 = A(x+2)(x+3) + B(x-1)(x+3) + C(x-1)(x+2)

Passo 5

Expandimos cada termo no lado direito:
A(x+2)(x+3) &= A(x^2 + 5x + 6) B(x-1)(x+3) &= B(x^2 + 2x - 3) C(x-1)(x+2) &= C(x^2 + x - 2)
Substituindo na equação:
6x^2 + 6 = A(x^2 + 5x + 6) + B(x^2 + 2x - 3) + C(x^2 + x - 2)

Passo 6

Agrupamos os termos semelhantes:
6x^2 + 6 = (A + B + C)x^2 + (5A + 2B + C)x + (6A - 3B - 2C)

Passo 7

Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
A + B + C = 6 5A + 2B + C = 0 6A - 3B - 2C = 6

Passo 8

Resolvemos o sistema de equações para encontrar A, B e C.
Primeiro, subtraímos a primeira equação da segunda:
(5A + 2B + C) - (A + B + C) = 0 - 6 4A + B = -6 (Equação 4) çã
Em seguida, subtraímos 6 vezes a primeira equação da terceira:
(6A - 3B - 2C) - 6(A + B + C) = 6 - 36 6A - 3B - 2C - 6A - 6B - 6C = -30 -9B - 8C = -30 (Equação 5) çã

Passo 9

Da Equação 4:
B = -6 - 4A
Substituímos B na Equação 5:
-9(-6 - 4A) - 8C = -30 54 + 36A - 8C = -30 36A - 8C = -84 9A - 2C = -21 (Equação 6) çã

Passo 10

Usamos a primeira equação A + B + C = 6 com B = -6 - 4A:
A + (-6 - 4A) + C = 6 -3A - 6 + C = 6 -3A + C = 12 (Equação 7) çã

Passo 11

Resolvemos o sistema formado pelas Equações 6 e 7:
9A - 2C = -21 -3A + C = 12
Multiplicamos a segunda equação por 2:
-6A + 2C = 24
Somamos com a primeira equação:
9A - 2C - 6A + 2C = -21 + 24 3A = 3 A = 1

Passo 12

Encontramos A = 1. Substituímos na Equação 7:
-3(1) + C = 12 -3 + C = 12 C = 15
E encontramos C = 15. Agora, substituímos A na expressão para B:
B = -6 - 4(1) = -10
Então, B = -10.

Passo 13

Agora que temos A, B e C, reescrevemos a fração original:
6x^2 + 6(x-1)(x+2)(x+3) = 1x-1 + -10x+2 + 15x+3

Passo 14

Integrando cada termo separadamente:
integral 1x-1 , dx + integral -10x+2 , dx + integral 15x+3 , dx
Sabemos que integral 1x , dx = ln|x| + C.

Passo 15

Aplicando a integração:
integral 1x-1 , dx &= ln|x-1| + C1 integral -10x+2 , dx &= -10 ln|x+2| + C2 integral 15x+3 , dx &= 15 ln|x+3| + C3

Resposta

Portanto, a integral é:
ln|x-1| - 10, ln|x+2| + 15, ln|x+3| + C

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