Detemine as assíntotas da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar as assíntotas da função
. Isso está relacionado ao estudo de funções e suas assíntotas, que são linhas que a função se aproxima quando
vai para mais ou menos infinito, ou quando se aproxima de certos valores de
. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar assíntotas verticais e horizontais, além de simplificar a função para facilitar a análise.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se existe alguma assíntota vertical. As assíntotas verticais ocorrem onde o denominador da função é zero, mas o numerador não é zero no mesmo ponto. Então, vamos resolver
:
Agora, substituímos
no numerador:
Como tanto o numerador quanto o denominador são zero quando
, isso indica que podemos ter uma assíntota removível ou um buraco no gráfico, mas não uma assíntota vertical.
Passo 3
Vamos simplificar a função para ver se conseguimos eliminar esse termo que está causando a indeterminação. Para simplificar
, podemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador, que é
:
Agora, a função está simplificada para
, e podemos ver que o termo
foi cancelado.
Passo 4
Com a função simplificada
, vamos analisar as possíveis assíntotas horizontais. Para isso, observamos o comportamento da função quando
tende ao infinito e quando tende a zero.
- Quando
:
Assim, a função se aproxima de 0 quando
vai para mais infinito.
- Quando
:
Portanto, a função se aproxima de 1 quando
se aproxima de zero pela direita.
Passo 5
Como não há comportamentos de tendência para valores negativos de
(já que a raiz quadrada de um número negativo não é real), não precisamos considerar
.
Então, resumindo:
- A função não tem assíntota vertical, já que o ponto
foi removido pela simplificação. - A função tem uma assíntota horizontal em
, pois se aproxima de zero quando vai para mais infinito. - Além disso, a função se aproxima de 1 quando
se aproxima de zero pela direita, mas isso não caracteriza uma assíntota.
Resposta
A função
possui uma assíntota horizontal em
.
Exercícios relacionados
Seja
uma função derivável e
. Calcule
se
e
.
Seja
em que
e
são funções deriváveis. Se
e
, determine
.