Detemine as assíntotas da função

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar as assíntotas da função . Isso está relacionado ao estudo de funções e suas assíntotas, que são linhas que a função se aproxima quando vai para mais ou menos infinito, ou quando se aproxima de certos valores de . Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar assíntotas verticais e horizontais, além de simplificar a função para facilitar a análise.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se existe alguma assíntota vertical. As assíntotas verticais ocorrem onde o denominador da função é zero, mas o numerador não é zero no mesmo ponto. Então, vamos resolver :
Agora, substituímos no numerador:
Como tanto o numerador quanto o denominador são zero quando , isso indica que podemos ter uma assíntota removível ou um buraco no gráfico, mas não uma assíntota vertical.

Passo 3

Vamos simplificar a função para ver se conseguimos eliminar esse termo que está causando a indeterminação. Para simplificar , podemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador, que é :
Agora, a função está simplificada para , e podemos ver que o termo foi cancelado.

Passo 4

Com a função simplificada , vamos analisar as possíveis assíntotas horizontais. Para isso, observamos o comportamento da função quando tende ao infinito e quando tende a zero.
  • Quando :
Assim, a função se aproxima de 0 quando vai para mais infinito.
  • Quando :
Portanto, a função se aproxima de 1 quando se aproxima de zero pela direita.

Passo 5

Como não há comportamentos de tendência para valores negativos de (já que a raiz quadrada de um número negativo não é real), não precisamos considerar .
Então, resumindo:
  • A função não tem assíntota vertical, já que o ponto foi removido pela simplificação.
  • A função tem uma assíntota horizontal em , pois se aproxima de zero quando vai para mais infinito.
  • Além disso, a função se aproxima de 1 quando se aproxima de zero pela direita, mas isso não caracteriza uma assíntota.

Resposta

A função possui uma assíntota horizontal em .

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.
Seja uma função derivável e . Calcule se e .
Seja em que e são funções deriváveis. Se e , determine .