Seja
uma função derivável e
. Calcule
se
e
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função derivável
e definimos outra função
. Precisamos calcular a derivada de
no ponto
, ou seja,
. Para isso, vamos usar as regras de derivação de funções compostas e produtos.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a função
. Essa função é um produto de duas funções:
e
. Para derivar um produto, usamos a regra do produto:
Passo 3
Vamos derivar cada parte separadamente. A derivada de
em relação a
é simplesmente
:
Passo 4
Agora, vamos derivar
. Aqui, usamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de
, onde
, é:
Passo 5
Aplicando a regra do produto, juntamos as derivadas que calculamos:
Podemos fatorar
:
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão de
:
Simplificando:
Sabemos que
e
, então: