Seja f uma função derivável e g(x) = e^x f(3x + 1). Calcule g'(0) se f(1) = 2 e f'(1) = 3.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função derivável e definimos outra função . Precisamos calcular a derivada de no ponto , ou seja, . Para isso, vamos usar as regras de derivação de funções compostas e produtos.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função . Essa função é um produto de duas funções: e . Para derivar um produto, usamos a regra do produto:

Passo 3

Vamos derivar cada parte separadamente. A derivada de em relação a é simplesmente :

Passo 4

Agora, vamos derivar . Aqui, usamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de , onde , é:

Passo 5

Aplicando a regra do produto, juntamos as derivadas que calculamos:
Podemos fatorar :

Passo 6

Agora, substituímos na expressão de :
Simplificando:
Sabemos que e , então:

Resposta

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