lim x 1 ln (x)+x-1x-1

Passo 1

Beleza, temos a seguinte expressão para resolver o limite quando lim x 1 ln (x) + x - 1x - 1 se aproxima de 1:
Esse problema está relacionado com o cálculo de limites e vamos precisar usar um pouco de derivadas para resolver. Basicamente, queremos ver o que acontece com essa fração quando chega bem perto de 1.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir ln (1) + 1 - 11 - 1 = 0 + 00 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
Daí temos uma forma indeterminada . Quando isso acontece, uma técnica útil é a Regra de L’Hospital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 3

Vamos aplicar a Regra de L’Hospital. Para isso, precisamos calcular as derivadas do numerador e do denominador em relação a ddx [ln(x) + x - 1] = 1x + 1 :
  • Derivada do numerador ddx [x - 1] = 1 :
  • Derivada do denominador :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na expressão do limite:
lim x 1 1x + 11
Simplificando, temos:
lim x 1 ( 1x + 1 ) = 11 + 1 = 2

Resposta

O limite é igual a 2.

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