Detemine as derivadas parciais
e
da função dada por
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para encontrar as derivadas parciais de uma função dada, ou seja, calcular ∂f/∂x e ∂f/∂y da função:
Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais, que são derivadas de funções de várias variáveis em relação a uma delas, mantendo as outras constantes. Vamos usar as regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular ∂f/∂x, a derivada parcial de f em relação a x. A função f(x, y) é um produto de duas funções:
e
. Então, vamos usar a regra do produto, que diz que se temos duas funções u(x) e v(x), a derivada de u*v é u’v + uv’.
Aplicando isso:
Vamos calcular cada parte:
-
-
Para
, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a x é , onde .
Então:
Agora, substituímos de volta na expressão da derivada:
Simplificando a segunda parte:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular ∂f/∂y, a derivada parcial de f em relação a y. Olhando a função original:
Aqui,
é considerado uma constante em relação a y, e só a parte
depende de y. Então, a derivada será:
Usando novamente a regra da cadeia, onde
:
Então, substituindo de volta:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
e
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