Detemine as derivadas parciais partial f / partial x e partial f / partial y da função dada por
f(x, y)=x^3 ln (1+x^2+y^2)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para encontrar as derivadas parciais de uma função dada, ou seja, calcular ∂f/∂x e ∂f/∂y da função:
f(x, y) = x^3 ln (1 + x^2 + y^2)
Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais, que são derivadas de funções de várias variáveis em relação a uma delas, mantendo as outras constantes. Vamos usar as regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular ∂f/∂x, a derivada parcial de f em relação a x. A função f(x, y) é um produto de duas funções: x^3 e ln (1 + x^2 + y^2). Então, vamos usar a regra do produto, que diz que se temos duas funções u(x) e v(x), a derivada de u*v é u’v + uv’.
Aplicando isso:
partial fpartial x = ddx(x^3) cdot ln (1 + x^2 + y^2) + x^3 cdot ddx(ln (1 + x^2 + y^2))
Vamos calcular cada parte:
  1. ddx(x^3) = 3x^2
  2. Para ddx(ln (1 + x^2 + y^2)), usamos a regra da cadeia. A derivada de ln(u) em relação a x é 1u cdot dudx, onde u = 1 + x^2 + y^2.
Então:
ddx(ln (1 + x^2 + y^2)) = 11 + x^2 + y^2 cdot 2x = 2x1 + x^2 + y^2
Agora, substituímos de volta na expressão da derivada:
partial fpartial x = 3x^2 cdot ln (1 + x^2 + y^2) + x^3 cdot 2x1 + x^2 + y^2
Simplificando a segunda parte:
x^3 cdot 2x1 + x^2 + y^2 = 2x^41 + x^2 + y^2
Então, temos:
partial fpartial x = 3x^2 ln (1 + x^2 + y^2) + 2x^41 + x^2 + y^2

Passo 3

Agora, vamos calcular ∂f/∂y, a derivada parcial de f em relação a y. Olhando a função original:
f(x, y) = x^3 ln (1 + x^2 + y^2)
Aqui, x^3 é considerado uma constante em relação a y, e só a parte ln (1 + x^2 + y^2) depende de y. Então, a derivada será:
partial fpartial y = x^3 cdot ddy(ln (1 + x^2 + y^2))
Usando novamente a regra da cadeia, onde u = 1 + x^2 + y^2:
ddy(ln(u)) = 1u cdot dudy = 11 + x^2 + y^2 cdot 2y = 2y1 + x^2 + y^2
Então, substituindo de volta:
partial fpartial y = x^3 cdot 2y1 + x^2 + y^2 = 2x^3 y1 + x^2 + y^2

Resposta

As derivadas parciais da função f(x, y) = x^3 ln (1 + x^2 + y^2) são:
partial fpartial x = 3x^2 ln (1 + x^2 + y^2) + 2x^41 + x^2 + y^2
e
partial fpartial y = 2x^3 y1 + x^2 + y^2

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