Determine o volume do sólido dado. Limitada pelo cilindro
e pelos planos
no primeiro octante
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está limitado por algumas superfícies específicas: o cilindro dado por
e os planos
,
e
no primeiro octante. Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais triplas, que nos ajudam a calcular volumes de formas mais complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as limitações do sólido. O cilindro
é um cilindro circular com raio 2, centrado no eixo x. Como estamos no primeiro octante, isso significa que
,
e
são todos positivos ou zero. Os planos
e
vão limitar o sólido ao longo do eixo x, e
é o plano xy, que está na base.
Passo 3
Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas cilíndricas. Nessa coordenada, a relação entre as variáveis é:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração para cada variável:
- Para
: Ele varia de 0 a 2, pelos planos dados. - Para
: O raio do cilindro é 2, então vai de 0 a 2. - Para
: No primeiro octante, vai de 0 a radianos (90 graus).
Passo 5
Com os limites definidos, podemos montar a integral tripla para o volume
:
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Passo 8
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Detemine as derivadas parciais
e
da função dada por
Calcule, caso exista,
.
Detemine as derivadas parciais
e
da função dada por
Detemine as derivadas parciais
e
da função dada por