Determine o volume do sólido dado. Limitada pelo cilindro y^2 + z^2 = 4 e pelos planos x = 2 x=0, z=0 no primeiro octante

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está limitado por algumas superfícies específicas: o cilindro dado por e os planos , e no primeiro octante. Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais triplas, que nos ajudam a calcular volumes de formas mais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as limitações do sólido. O cilindro é um cilindro circular com raio 2, centrado no eixo x. Como estamos no primeiro octante, isso significa que , e são todos positivos ou zero. Os planos e vão limitar o sólido ao longo do eixo x, e é o plano xy, que está na base.

Passo 3

Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas cilíndricas. Nessa coordenada, a relação entre as variáveis é:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para cada variável:
  • Para : Ele varia de 0 a 2, pelos planos dados.
  • Para : O raio do cilindro é 2, então vai de 0 a 2.
  • Para : No primeiro octante, vai de 0 a radianos (90 graus).

Passo 5

Com os limites definidos, podemos montar a integral tripla para o volume :

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :

Passo 7

Agora, integramos em relação a :

Passo 8

Por fim, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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