Detemine as derivadas parciais partial f / partial x e partial f / partial y da função dada por
f(x, y)=5 x^4 y^2+x y^3+8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de uma função de duas variáveis, . Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, mais especificamente de derivadas parciais. Para isso, a gente vai precisar saber como derivar em relação a uma variável enquanto mantém a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f(x, y) = 5x^4y^2 + xy^3 + 8 em relação a partial fpartial x = 20x^3y^2 + y^3 , isto é, . Quando derivamos em relação a , tratamos como uma constante.
A função é:
Vamos derivar cada termo separadamente:
  1. Para :
    • é uma constante.
    • A derivada de em relação a é .
    • Então, .
  2. Para :
    • é uma constante.
    • A derivada de em relação a é 1.
    • Então, .
  3. Para :
    • A derivada de uma constante é 0.
    • Então, .
Somando tudo:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f(x, y) = 5x^4y^2 + xy^3 + 8 em relação a partial fpartial y = 10x^4y + 3xy^2 , ou seja, . Dessa vez, tratamos como uma constante.
A função é:
Vamos derivar cada termo separadamente:
  1. Para :
    • é uma constante.
    • A derivada de em relação a é .
    • Então, .
  2. Para :
    • é uma constante.
    • A derivada de em relação a é .
    • Então, .
  3. Para :
    • A derivada de uma constante é 0.
    • Então, .
Somando tudo:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
partial fpartial x = 20x^3y^2 + y^3
partial fpartial y = 10x^4y + 3xy^2

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